В П Лавринчук - Вища математика загальний курс частина 2 математичний аналіз і диференціальні рівняння - страница 133

Страницы:
1  2  3  4  5  6  7  8  9  10  11  12  13  14  15  16  17  18  19  20  21  22  23  24  25  26  27  28  29  30  31  32  33  34  35  36  37  38  39  40  41  42  43  44  45  46  47  48  49  50  51  52  53  54  55  56  57  58  59  60  61  62  63  64  65  66  67  68  69  70  71  72  73  74  75  76  77  78  79  80  81  82  83  84  85  86  87  88  89  90  91  92  93  94  95  96  97  98  99  100  101  102  103  104  105  106  107  108  109  110  111  112  113  114  115  116  117  118  119  120  121  122  123  124  125  126  127  128  129  130  131  132  133  134  135  136  137  138  139  140  141  142  143  144  145  146  147  148  149  150  151  152  153  154  155  156  157  158  159  160  161  162  163  164  165  166  167  168  169  170  171  172  173  174  175  176  177  178  179  180  181  182  183  184  185  186  187  188  189  190  191  192  193  194  195  196  197  198  199  200  201  202  203  204  205  206  207  208  209  210  211  212  213  214  215  216  217  218  219  220  221  222  223  224  225  226  227  228  229  230  231  232  233  234  235  236  237  238  239  240  241  242  243  244  245  246  247  248  249  250  251  252  253  254  255  256  257  258  259  260  261  262  263  264  265  266  267  268  269  270  271  272  273  274  275  276  277  278  279  280  281 

Di D2

Знайдемо площі S(Di) і S(D2). Очевидно, що S(Di) = 1 -1-1 = §, а S(D2) = 2 1 = §. Отже,

УУ sgn (y  x)dxdy = 3  1 = 1. ►

 

 

1.2. Зведення подвійного інтеграла до повтор­ного. У цьому пункті розглянемо один з основних методів обчислення подвійних iнтегралiв. Він грунтується на зведен­ні подвійного штеграла JJ f (x,y)dxdy від неперервної функціїf до повторного.

Розглянемо це зведення для двох типів області інтегруван­ня.

1) Нехай область D С R2 обмежена знизу графіком неперервної  функції  y = yi(x),   зверху   - графіком неперервної  функції  y = y2(x), а з боків - прямими x = a і x = b. Вважатимемо, що yi(x) < y2(x), x є [a; b]. Таку область називатимемо y-трапецієвидною. Для області D побудуємо криволінійний циліндр Q, який обмежений зверху поверхнею, що є графіком неперервної і невід'ємної функції z = f (x, y), (x; y) є D так, як це зроблено в пункті 1.1. Обчислимо об'єм V(Q) двома способами. У першому

пункті ми з'ясували, що V(Q) = jj f (x,y)dxdy. З іншого боку,

D

26обчислимо цей об'єм за допомогою площі поперечного перерізу

b

S(x), x є [a; b], а саме, V(Q) = J S(x)dx. Знайдемо формулу

a

для обчислення площі поперечного перерізу S(x).

Поперечним перерізом Qx тіла Q площиною, що проходить через точку x є [a; b] перпендикулярно до осі Ox, є криволіній­на трапеція, яка обмежена зни­зу відрізком [yi(x); y2(x)]; звер­ху - графіком функції z = f(x, y), а з боків - прямими y = yi(x) і y = y2(x) (рис. 2). Пло-y ща перерізу Qx обчислюється за допомогою інтеграла

2/2 (x)

S(x) = j f(x,y)dy.

Vl(x)

Отже, об'єм V(Q) знаходиться за формулою

b    v2 (x)

V(Q) = /( / f(x,y)dy)dx.

a    VI (x)

Цей інтеграл називається повторним. Остаточно для даного типу областей одержуємо рівністьf(x, y)dxdy =        f(x, y)dy dx,


(6)
VI (x)яка називається формулою зведення подвійного інтегра­ла до повторного.

Зокрема, якщо область D = {(x; y) є R2 : a < x < b,c < y < d} - прямокутник, то формула (6) має вигляд
dx.


(7)
a
c265Зауважимо, що формули (6), (7) правильні не лише для невід'ємної неперервної функції f, а для довільної неперервної

функції f.

y                                      2) Нехай область D С R2

t                             обмежена знизу прямою y =

x=

D Z'                       c, зверху - прямою y = d, а

з боків - графіками неперерв­них функцій x = x1(y), x = x2(y), y є [c; d] (рис. 3). Та­ку область називатимемо x-Рис 3 трапецiєвидною. Аналогічно як і в першому випадку доводиться, що пра­вильною є така формула зведення подвійного інтеграла до пов­торного:

 

d x/2(V)f(x, y)dxdy =        f(x, y)dx dy.

D                    c    xi(y)Зауважимо, що коли область інтегрування є одночасно об­ластю обох типів, то правильними є формули (6) і (8), тобтоf(x, y)dxdy = f(x, y)dy
D                           a Vi (x)


d/ d x/2(V)f(x, y)dx dy.


(9)c xi(V)

Зокрема, у випадку, коли y < d}, формула (9) має вигляд
d
ac266d b

= /( f f (x,y)dx)dy. (10)

c a

Формули зведення подвійного інтеграла до повторного зручні тим, що вони дозволяють використовувати методи об­числення визначених iнтегралiв при обчисленні подвійних ін­тегралів.

Страницы:
1  2  3  4  5  6  7  8  9  10  11  12  13  14  15  16  17  18  19  20  21  22  23  24  25  26  27  28  29  30  31  32  33  34  35  36  37  38  39  40  41  42  43  44  45  46  47  48  49  50  51  52  53  54  55  56  57  58  59  60  61  62  63  64  65  66  67  68  69  70  71  72  73  74  75  76  77  78  79  80  81  82  83  84  85  86  87  88  89  90  91  92  93  94  95  96  97  98  99  100  101  102  103  104  105  106  107  108  109  110  111  112  113  114  115  116  117  118  119  120  121  122  123  124  125  126  127  128  129  130  131  132  133  134  135  136  137  138  139  140  141  142  143  144  145  146  147  148  149  150  151  152  153  154  155  156  157  158  159  160  161  162  163  164  165  166  167  168  169  170  171  172  173  174  175  176  177  178  179  180  181  182  183  184  185  186  187  188  189  190  191  192  193  194  195  196  197  198  199  200  201  202  203  204  205  206  207  208  209  210  211  212  213  214  215  216  217  218  219  220  221  222  223  224  225  226  227  228  229  230  231  232  233  234  235  236  237  238  239  240  241  242  243  244  245  246  247  248  249  250  251  252  253  254  255  256  257  258  259  260  261  262  263  264  265  266  267  268  269  270  271  272  273  274  275  276  277  278  279  280  281 


Похожие статьи

В П Лавринчук - Вища математика загальний курс частина 2 математичний аналіз і диференціальні рівняння