В П Лавринчук - Вища математика загальний курс частина 2 математичний аналіз і диференціальні рівняння - страница 136

Страницы:
1  2  3  4  5  6  7  8  9  10  11  12  13  14  15  16  17  18  19  20  21  22  23  24  25  26  27  28  29  30  31  32  33  34  35  36  37  38  39  40  41  42  43  44  45  46  47  48  49  50  51  52  53  54  55  56  57  58  59  60  61  62  63  64  65  66  67  68  69  70  71  72  73  74  75  76  77  78  79  80  81  82  83  84  85  86  87  88  89  90  91  92  93  94  95  96  97  98  99  100  101  102  103  104  105  106  107  108  109  110  111  112  113  114  115  116  117  118  119  120  121  122  123  124  125  126  127  128  129  130  131  132  133  134  135  136  137  138  139  140  141  142  143  144  145  146  147  148  149  150  151  152  153  154  155  156  157  158  159  160  161  162  163  164  165  166  167  168  169  170  171  172  173  174  175  176  177  178  179  180  181  182  183  184  185  186  187  188  189  190  191  192  193  194  195  196  197  198  199  200  201  202  203  204  205  206  207  208  209  210  211  212  213  214  215  216  217  218  219  220  221  222  223  224  225  226  227  228  229  230  231  232  233  234  235  236  237  238  239  240  241  242  243  244  245  246  247  248  249  250  251  252  253  254  255  256  257  258  259  260  261  262  263  264  265  266  267  268  269  270  271  272  273  274  275  276  277  278  279  280  281 

якщо f - деяка неперервна функція.

 

 

 

 

 

27J f (x,y)dy^jdx = Jj f (x,y)dxdy + JJ
x                          D1 D2

- Зобразимо область D інте­грування, яка обмежена прямими x = 0, x = 2, y = x і y = 2x, на рисунку. Вона не є областю дру­гого типу, але її можна подати як об'єднання областей D1 і D2 , які є областями другого типу. Тоді ін­теграл згідно з властивістю 3) за­писується у вигляді

f (x,y)dxdy + j j f (x,y)dxdy.

D1 D2 Інтеграли по D1 і Di запишемо скориставшись формулою (8):

2 yD1

D1

I!

D2


f(x, y)dxdy

 

 

 

f(x, y)dxdy


0 y/2

2

!4 !2

y/2


f(x, y)dx dy; f(x, y)dx dy.2 2x

f(x, y)dy

0x

Тому остаточно матимемо
!2x                       !2( !y

dx =

0     x                       0 y/2


2

 

 

!4 !2

y/2


 

 

dy.


1.3. Заміна змінних в подвійному інтегралі. Нехай функція f(x, y) неперервна в обмеженій квадровній області D. Тоді існує подвійний інтеграл

 

f(x, y)dxdy. (11)

D

Припустимо, що функції

 

x = <f(u,v),   y = ip(u,v) (12)

 

27здійснюють взаємно однозначне відображення між областями Q С R2 і D С R2.

У,

 

 

VJJI

kZ у

Вважатимемо, що р і ф мають в області П неперервні ча­стинні похідні і визначник, складений з цих похідниJ (u,v) =


du dv др др

ди dv


= 0,    (u; v) є П.


(13)Визначник (13) називається функціональним визначни­ком або якобіаном.

Можна довести, що при зроблених припущеннях правильна формула заміни змінниf (x,y)dxdy = jj f (p(u,v)^(u,v))\J(u,v)\dudv,


(14)де інтеграл, який стоїть справа у формулі (14), обчислюється, взагалі кажучи, простіше.

Зауважимо, що формула (14) є правильною й тоді, коли по­рушується взаємно-однозначна відповідність між областями П і D або умова (13) у скінченній кількості точок чи на скінченній кількості ліній області П.

У застосуваннях важливу роль відіграють полярні коорди­нати:x = r cos р,   y = r sin р,   r > 0, 0 < р < 2n.


(15)Якщо в подвійному інтегралі перейти до полярних коорди­нат за формулами (15), то одержимо формулуf(x, y)dxdy


f(r


cos р, r sin p)rdrdp,


(16)

 

27бJ(r, р) =


cos p —r sin p sin р    r cos р cos2 p + r sin2


p = r.Якщо область D - круг з центром в початку координат і радіусом R, то 0 < r < R, а 0 < p < 2п, а це означає, що П -прямокутник.
t

r

R


 

 

pУ цьому випадку рівність (16) набуває вигляду 2п R

jj f (x,y)dxdy = jУ У f (r cos p,r sin p)rdrjdp =

D                          0 0

R 2n

=     У f (r cos p,r sin p)rdpjdr. (17) 00

Приклад 8. Обчислити подвійний інтеграл JJ sin v7x2 + y2dxdy, якщо D = {(x; y) Є R2 : n2 < x2 + y2 < 4n2} -

D

кільцє.

273


^ Зобразимо область D на рисунку. Якщо перейти до полярних координат за формулами (15), то одержимо, що П = {(r; p) : п < r < 2п, 0 < p < 2п} - прямокутник.

Страницы:
1  2  3  4  5  6  7  8  9  10  11  12  13  14  15  16  17  18  19  20  21  22  23  24  25  26  27  28  29  30  31  32  33  34  35  36  37  38  39  40  41  42  43  44  45  46  47  48  49  50  51  52  53  54  55  56  57  58  59  60  61  62  63  64  65  66  67  68  69  70  71  72  73  74  75  76  77  78  79  80  81  82  83  84  85  86  87  88  89  90  91  92  93  94  95  96  97  98  99  100  101  102  103  104  105  106  107  108  109  110  111  112  113  114  115  116  117  118  119  120  121  122  123  124  125  126  127  128  129  130  131  132  133  134  135  136  137  138  139  140  141  142  143  144  145  146  147  148  149  150  151  152  153  154  155  156  157  158  159  160  161  162  163  164  165  166  167  168  169  170  171  172  173  174  175  176  177  178  179  180  181  182  183  184  185  186  187  188  189  190  191  192  193  194  195  196  197  198  199  200  201  202  203  204  205  206  207  208  209  210  211  212  213  214  215  216  217  218  219  220  221  222  223  224  225  226  227  228  229  230  231  232  233  234  235  236  237  238  239  240  241  242  243  244  245  246  247  248  249  250  251  252  253  254  255  256  257  258  259  260  261  262  263  264  265  266  267  268  269  270  271  272  273  274  275  276  277  278  279  280  281 


Похожие статьи

В П Лавринчук - Вища математика загальний курс частина 2 математичний аналіз і диференціальні рівняння