В П Лавринчук - Вища математика загальний курс частина 2 математичний аналіз і диференціальні рівняння - страница 137

Страницы:
1  2  3  4  5  6  7  8  9  10  11  12  13  14  15  16  17  18  19  20  21  22  23  24  25  26  27  28  29  30  31  32  33  34  35  36  37  38  39  40  41  42  43  44  45  46  47  48  49  50  51  52  53  54  55  56  57  58  59  60  61  62  63  64  65  66  67  68  69  70  71  72  73  74  75  76  77  78  79  80  81  82  83  84  85  86  87  88  89  90  91  92  93  94  95  96  97  98  99  100  101  102  103  104  105  106  107  108  109  110  111  112  113  114  115  116  117  118  119  120  121  122  123  124  125  126  127  128  129  130  131  132  133  134  135  136  137  138  139  140  141  142  143  144  145  146  147  148  149  150  151  152  153  154  155  156  157  158  159  160  161  162  163  164  165  166  167  168  169  170  171  172  173  174  175  176  177  178  179  180  181  182  183  184  185  186  187  188  189  190  191  192  193  194  195  196  197  198  199  200  201  202  203  204  205  206  207  208  209  210  211  212  213  214  215  216  217  218  219  220  221  222  223  224  225  226  227  228  229  230  231  232  233  234  235  236  237  238  239  240  241  242  243  244  245  246  247  248  249  250  251  252  253  254  255  256  257  258  259  260  261  262  263  264  265  266  267  268  269  270  271  272  273  274  275  276  277  278  279  280  281 

r sin rdr

£> 0

Обчислимо внутрішній визначений інтеграл інтегруванням час-тинами

 

r sin rdr

п


u = r,     du = dr

dv = sin rdr,   v = cos r


 

= r cos r


2п+ j cos rdr = —2п  n + sin r

Отже,


2п

= -in.JJ sin \Jx2 + y2dxdy =  J indtp = —3п(р     =  6n2. 

 

1.4. Застосування подвійного інтеграла.

1.4.1. Обчислення об'ємів. У пункті 1.1 було розглянуто геометричну задачу, яка лежить в основі означення подвійного інтеграла, а саме задачу про обчислення об'єму криволінійного цилшдра. Установлено, що для циліндра Q, обмеженого знизу областю D, а зверху поверхнею z = f (x,y), де f невід'ємна неперервна функція, наближене значення об'єму визначається інтегральною сумою

n

Ef ,Vk )S(Dk). (18) k=i

Точне значення об'єму - це границя, до якої прямують інтегральні суми при здрібненні розбиття фігури Q. Оскіль­ки при зроблених вище припущеннях відносно f і Q границя інтегральних сум (18) існує і дорівнює подвійному інтегралу

f (x,y)dxdy, то об'єм V криволінійного циліндра, обмеже-

D

ного знизу областю D, а зверху поверхнею z = f(x, y), де f

 

27неперервна функція, виражається подвійним інтегралом
f (x,y)dxdy.Приклад 9. Знайти об'єм тіла, вирізаного з кулі радіуса R, прямим круговим циліндром дiаметра R, твірна якого проходить че­рез центр кулі.

Сумістимо початок координат з центром кулі, спрямувавши вісь Oz по твірній циліндра, а вісь Ox - вздовж діаметра основи ци­ліндра. Згідно з симетрією тіла відносно координатних площин Oxy і Oxz досить знайти об'єм частини тіла, що знаходиться в першому октанті, і одержаний результат помножити на чотири. Скористав­шись формулою (19), дістанемV = 4

R ~2

тобто D

zdxdy,

-;о),

ці

x2 + y2 < Rx,x > О, y > О}. Оскільки рівняння сфери радіуса R з центром в початку координат має вигляд x2 + y2 + z2 = R2, то в пер-

vR2

півкруг в площині з центром в точ-

x2 y2 і,


{(x,y) :

отже,

V = 4 JJ \JR2 - х2 - у1 dxdy.

Перейшовши до полярних координат, згідно з формулою (16), дістанемо

V = 4 JJ VR2  4r2rdrdip,де І1


{(r; р)


: О < r < R cos p, О < p < 22 j, тоб7г/2         R COS f

V = 4 j dp   j   r\/R2  r2dr.

 

 

275

y


Оскільки

r = R cos p                    Rcos f

/    VR2 r2rdr
R/2 R


x


R cos f=  X   j   (R  r2)l/2 d(R2  r2) =

Страницы:
1  2  3  4  5  6  7  8  9  10  11  12  13  14  15  16  17  18  19  20  21  22  23  24  25  26  27  28  29  30  31  32  33  34  35  36  37  38  39  40  41  42  43  44  45  46  47  48  49  50  51  52  53  54  55  56  57  58  59  60  61  62  63  64  65  66  67  68  69  70  71  72  73  74  75  76  77  78  79  80  81  82  83  84  85  86  87  88  89  90  91  92  93  94  95  96  97  98  99  100  101  102  103  104  105  106  107  108  109  110  111  112  113  114  115  116  117  118  119  120  121  122  123  124  125  126  127  128  129  130  131  132  133  134  135  136  137  138  139  140  141  142  143  144  145  146  147  148  149  150  151  152  153  154  155  156  157  158  159  160  161  162  163  164  165  166  167  168  169  170  171  172  173  174  175  176  177  178  179  180  181  182  183  184  185  186  187  188  189  190  191  192  193  194  195  196  197  198  199  200  201  202  203  204  205  206  207  208  209  210  211  212  213  214  215  216  217  218  219  220  221  222  223  224  225  226  227  228  229  230  231  232  233  234  235  236  237  238  239  240  241  242  243  244  245  246  247  248  249  250  251  252  253  254  255  256  257  258  259  260  261  262  263  264  265  266  267  268  269  270  271  272  273  274  275  276  277  278  279  280  281 


Похожие статьи

В П Лавринчук - Вища математика загальний курс частина 2 математичний аналіз і диференціальні рівняння