В П Лавринчук - Вища математика загальний курс частина 2 математичний аналіз і диференціальні рівняння - страница 138

Страницы:
1  2  3  4  5  6  7  8  9  10  11  12  13  14  15  16  17  18  19  20  21  22  23  24  25  26  27  28  29  30  31  32  33  34  35  36  37  38  39  40  41  42  43  44  45  46  47  48  49  50  51  52  53  54  55  56  57  58  59  60  61  62  63  64  65  66  67  68  69  70  71  72  73  74  75  76  77  78  79  80  81  82  83  84  85  86  87  88  89  90  91  92  93  94  95  96  97  98  99  100  101  102  103  104  105  106  107  108  109  110  111  112  113  114  115  116  117  118  119  120  121  122  123  124  125  126  127  128  129  130  131  132  133  134  135  136  137  138  139  140  141  142  143  144  145  146  147  148  149  150  151  152  153  154  155  156  157  158  159  160  161  162  163  164  165  166  167  168  169  170  171  172  173  174  175  176  177  178  179  180  181  182  183  184  185  186  187  188  189  190  191  192  193  194  195  196  197  198  199  200  201  202  203  204  205  206  207  208  209  210  211  212  213  214  215  216  217  218  219  220  221  222  223  224  225  226  227  228  229  230  231  232  233  234  235  236  237  238  239  240  241  242  243  244  245  246  247  248  249  250  251  252  253  254  255  256  257  258  259  260  261  262  263  264  265  266  267  268  269  270  271  272  273  274  275  276  277  278  279  280  281 

0

 

, (R2 r2 )3/2 xR COS f    (R2 R2 cos2 p)3/2   R3     R3           3 л

(     з     )     = "---------------- sH^+T" = T(1—sin p)

 

то

п/2   з                                 n/2 n/2

V = 4 J R3_(1  sin3 p)dp =3R3^J dp  J sin3 pdp^j

0                                          0 0

n/2 n/2

= 3R3(j dp + J (1  cos2 p)dcos p) = 3R3(p\§ +

(              cos3 p\ f\     4~/п     (    1     1 \\     4   3 (п 2

+ (cos p------- rVJ = 3 R4 2П 1 + ^) = з R4 2 3

Отже,

V = 4R12 І) куб.од.

 

1.4.2. Обчислення площі. Покладаючи в подвійному ін­тегралі підінтегральну функцію f (x, y) тотожно рівною одини­ці, f (x,y) = 1, (x; y) Є D, одержуємо інтеград

Jj dxdy, (20) D

який дорівнює, очевидно, площі області D, оскільки цій площі дорівнюватиме кожна з інтегральних сум, що відповідає інте­гралу (20) (п. 1.1.).

 

 

276Формула
dxdy


(21)для обчислення площі часто зручніша, ніж формула
f (x)dx,
яка визначає площу криволінійної трапеції, оскільки вона за­стосовна не тільки для обчислення площі криволінійної трапе­ції, але й площі довільної квадровної фігури.

10. Знайти площу, обмежену лемніскатою (x2
Поклавши х = r cos р, у = r sin ip, перетворимо рівняння кри­вої до вигляду г2 = 2а2 sin р cos р = a2 sin 2р. Очевидно, що зміні поляр-

ного кута р від 0 до відповідає

чверть шуканої площі.

Отже, якщо перейти до поляр­них координат в інтегралі (21), ма­тимемп/4       a^/sin 2^ 4

S = 4 j! rdr dp = 4 J dp    J    rdr = 2 J r2

n                   0          0 0


a^/sin 2^

0


2a2    sin2pdp = —a2 cos 2p


4

0


a2.1.4.3. Маса пластинки. Координати центра маси.

Розглянемо на площині Oxy матеріальну пластинку, тобто де­яку область D, по якій розподілена маса з густиною p(x,y). Вважатимемо, що р - неперервна функція в області D і обчис­лимо масу цієї пластинки. Розіб'ємо деяким чином область D

 

277на частини Dk, як у пункті 1.1, і в кожній з цих частин візьме­мо довільну точку (^k', Пк). Масу кожного елемента Dk можна вважати рівною наближено р(^к,Vk)S(Dk), де S(Dk) - площа Dk. Тоді маса всієї пластинки наближено дорівнює сумі

n

J>(& ,Vk )S(Dk).

k=l

Для того щоб одержати точне значення маси пластинки, пе­рейдемо в цій сумі до границі при X 0, де X - найбільший з діаметрів областей Dk, k Є {1,... ,n}. При цьому записана ви­ще сума перейде у подвійний інтеграл, а тому маса пластинки визначається рівністю

m = JJp(x,y)dxdy.

Страницы:
1  2  3  4  5  6  7  8  9  10  11  12  13  14  15  16  17  18  19  20  21  22  23  24  25  26  27  28  29  30  31  32  33  34  35  36  37  38  39  40  41  42  43  44  45  46  47  48  49  50  51  52  53  54  55  56  57  58  59  60  61  62  63  64  65  66  67  68  69  70  71  72  73  74  75  76  77  78  79  80  81  82  83  84  85  86  87  88  89  90  91  92  93  94  95  96  97  98  99  100  101  102  103  104  105  106  107  108  109  110  111  112  113  114  115  116  117  118  119  120  121  122  123  124  125  126  127  128  129  130  131  132  133  134  135  136  137  138  139  140  141  142  143  144  145  146  147  148  149  150  151  152  153  154  155  156  157  158  159  160  161  162  163  164  165  166  167  168  169  170  171  172  173  174  175  176  177  178  179  180  181  182  183  184  185  186  187  188  189  190  191  192  193  194  195  196  197  198  199  200  201  202  203  204  205  206  207  208  209  210  211  212  213  214  215  216  217  218  219  220  221  222  223  224  225  226  227  228  229  230  231  232  233  234  235  236  237  238  239  240  241  242  243  244  245  246  247  248  249  250  251  252  253  254  255  256  257  258  259  260  261  262  263  264  265  266  267  268  269  270  271  272  273  274  275  276  277  278  279  280  281 


Похожие статьи

В П Лавринчук - Вища математика загальний курс частина 2 математичний аналіз і диференціальні рівняння