В П Лавринчук - Вища математика загальний курс частина 2 математичний аналіз і диференціальні рівняння - страница 141

Страницы:
1  2  3  4  5  6  7  8  9  10  11  12  13  14  15  16  17  18  19  20  21  22  23  24  25  26  27  28  29  30  31  32  33  34  35  36  37  38  39  40  41  42  43  44  45  46  47  48  49  50  51  52  53  54  55  56  57  58  59  60  61  62  63  64  65  66  67  68  69  70  71  72  73  74  75  76  77  78  79  80  81  82  83  84  85  86  87  88  89  90  91  92  93  94  95  96  97  98  99  100  101  102  103  104  105  106  107  108  109  110  111  112  113  114  115  116  117  118  119  120  121  122  123  124  125  126  127  128  129  130  131  132  133  134  135  136  137  138  139  140  141  142  143  144  145  146  147  148  149  150  151  152  153  154  155  156  157  158  159  160  161  162  163  164  165  166  167  168  169  170  171  172  173  174  175  176  177  178  179  180  181  182  183  184  185  186  187  188  189  190  191  192  193  194  195  196  197  198  199  200  201  202  203  204  205  206  207  208  209  210  211  212  213  214  215  216  217  218  219  220  221  222  223  224  225  226  227  228  229  230  231  232  233  234  235  236  237  238  239  240  241  242  243  244  245  246  247  248  249  250  251  252  253  254  255  256  257  258  259  260  261  262  263  264  265  266  267  268  269  270  271  272  273  274  275  276  277  278  279  280  281 

6. Знайти моменти інерції однорідної фігури, обмеженої лініями:

1) у = 2a/x, x + у = 3, у = 0, відносно осі Ox; 2) кардоїдою r =
a(1 + cos p), p Є [0; 2п], відносно осі Ox; 3) x + у = 2, x = 0, у = 0,
відносно початку координат.

 

Відповіді

 

1. 1) 1; 2) 12; 3) 105. 2. 1) 9; 2) 12; 3) 27. 3. 1) £; 2) f; 3) 13/6;

4) 120.; 5) if. 4. 1) 16п; 2) §(e —1); 3) і2(17^Ї7—1); 4) 3п. 5. 1) xc = 2,

10                   2 9

3(п 2)         п 2 20

2) 21 па4; 3) -.
; 32     '   ' 3

 

 

 

 

 

28§2. Потрійні інтеграли

2.1. Означення потрійного інтеграла та його вла­стивості.

2.1.1. Задача про визначення маси тіла. Нехай в три­вимірному просторі R3 задано матеріальне тіло Q. Розгляне­мо деяку його елементарну частину AQ, яка містить точку M(x; у; z). Відношення маси Am цього малого тіла AQ до його

.... Am об єму av, тобто ——, називається середньою густиною тіла av

Am

aQ. Якщо існує скінченна границя р відношення —— при умо-

Av

ві, що тіло AQ стягується в точку M(x; у; z), то ця границя на­зивається густиною в точці M. Вона залежить від положення точки M, а тому є функцією точки або функцією її координат, тобто р = р(М) або р = p(x, у, z).

Обчислимо масу m тіла Q, вважаючи, що густина в кожній точці цього тіла є неперервною функцією. Якщо б тіло було од­норідним, тобто густина р в кожній його точці була б одна й та сама, що дорівнює ро, то його маса m дорівнювала б m = pov, де v - об'єм тіла Q. Оскільки в загальному випадку густина р змінюється від точки до точки, то ця формула для обчислення маси непридатна. Тому скористаємося методом розбиття тіла Q на елементарні частини, який ми неодноразово використову­вали раніше.

Розіб'ємо тіло Q на n малих частин Qk, к Є {1,... ,n}

n

так, що Q  =   (J Qk. У кожному тілі Qk виберемо точку

Mk(xk; yk; zk). Якщо тіло Qk мале, то можна вважати, що гу­стина у кожному з них змінюється мало і майже не відріз­няється від густини pk = p(Mk) = p(xk,yk,Zk). Тому можна наближено визначити масу mk тіла Qk рівністю

mk ~ pk vk = p(xk, yk, Zk )vk,   к Є {1,...,n}, де vk - об'єм тіла Qk, к Є {1,..., n}, тобто vk = V(Qk).

п

Оскільки маса m всього тіла дорівнює      mk, то для її об-

 

28числення одержуємо наближену рівність

п

m ^ ЕP(Xkк,Zk)Vk. k=l

За точне значення маси m візьмемо границю цієї суми, коли кожне з малих тіл Qk стягується в точку, тобто максимальний діаметр X =   max   d(Qk) прямує до нуля,

кЄ{1,...,п}

п

m = lim Е P(xk, yk, Zk)vk.

 

Розв'язування задачі про знаходження маси тіла привело нас до вивчення границі певних інтегральних сум. Оскільки до знаходження границі сум такого вигляду зводиться багато задач геометрії, фізики, хімії і т.п., то природно вивчити вла­стивості границь таких сум у загальному вигляді, незалежно від тієї або іншої задачі, що приведе нас до поняття потрійного інтеграла.

2.1.2. Потрійний інтеграл i його властивості. Основні поняття і теореми для потрійних інтегралів аналогічні відпо­відним поняттям і теоремам для подвійних інтегралів. Нехай Q - обмежена кубовна область у тривимірному евклідовому просторі R3 і нехай в цій області визначена обмежена функція u = f (M) = f (x, y, z). Розіб'ємо область Q на n кубовних обла­стей Qk, k Є {1,... ,n} так, щоб довільні дві частини не мали

Страницы:
1  2  3  4  5  6  7  8  9  10  11  12  13  14  15  16  17  18  19  20  21  22  23  24  25  26  27  28  29  30  31  32  33  34  35  36  37  38  39  40  41  42  43  44  45  46  47  48  49  50  51  52  53  54  55  56  57  58  59  60  61  62  63  64  65  66  67  68  69  70  71  72  73  74  75  76  77  78  79  80  81  82  83  84  85  86  87  88  89  90  91  92  93  94  95  96  97  98  99  100  101  102  103  104  105  106  107  108  109  110  111  112  113  114  115  116  117  118  119  120  121  122  123  124  125  126  127  128  129  130  131  132  133  134  135  136  137  138  139  140  141  142  143  144  145  146  147  148  149  150  151  152  153  154  155  156  157  158  159  160  161  162  163  164  165  166  167  168  169  170  171  172  173  174  175  176  177  178  179  180  181  182  183  184  185  186  187  188  189  190  191  192  193  194  195  196  197  198  199  200  201  202  203  204  205  206  207  208  209  210  211  212  213  214  215  216  217  218  219  220  221  222  223  224  225  226  227  228  229  230  231  232  233  234  235  236  237  238  239  240  241  242  243  244  245  246  247  248  249  250  251  252  253  254  255  256  257  258  259  260  261  262  263  264  265  266  267  268  269  270  271  272  273  274  275  276  277  278  279  280  281 


Похожие статьи

В П Лавринчук - Вища математика загальний курс частина 2 математичний аналіз і диференціальні рівняння