В П Лавринчук - Вища математика загальний курс частина 2 математичний аналіз і диференціальні рівняння - страница 15
lim , причому ці обидві границі однакові.
3і(х)
2.5. Основні теореми про границі. Розглядатимемо функції, які визначені у деякому околі U(а) точки а, за винятком, можливо, самої точки а.
Теорема 5. Якщо lim f (х) = b, lim д(х) = c, то lim(f (х) ±
ж—a ж—a ж—a
д(х)) = Ь ± С.
< З означення границі функції випливає, що
o
f (х) = b + а(х),х Є U(а; 51)
o
д(х) = с + 3(х),х Є U(а; 5§) де lim а(х) = 0 і lim (3(х) = 0.
ж— a ж— a
Тоді
f (х) ± д(х) = (b + а(х)) ± (c + 3(х)) = b ± c + (а(х) ± (3(х)), Ух Є U(а; 5і) П U(а; 5§).
3Оскільки функція а(х) ± (3(х) є нескінченно малою при х — а, то
ііш(/(х) ± д(х)) = b ± c. ►
x—a
Наслідок. Функція може мати лише одну границю при х — а.
Л Нехай lim /(х) = b і lim /(х) = c, де b = c. Тоді згідно з
x—a x—a
теоремою 1
0 = (х) — /(х)) = lim /(х) — lim /(х) = b — c.
x—a x—a x—a
Звідси випливає, що b — c = 0 або b = c, що суперечить припущенню b = c. ►
Зауваження 6. В умові теореми 5 припускається, що кожна з функцій має границю, і доводиться, що їхня сума (різниця) також має границю. Обернене твердження, взагалі кажучи, не має місця.
Наприклад,
lim (sin2 х + cos2 х) = lim 1 = 1,
x—oo x—oo
але lim sin2 х і lim cos2 х не існують.
x—o x—o
Теорема 6. Якщо lim /(х) = b, lim д(х) = c, то
x—a x—a
lim /(х)д(х) = bc.
x—a
Л З того, що lim /(х) = b, lim д(х) = c випливає, що
x— a x—a
o
/(х) = b + а(х), х є U(а; 6{),
o
д(х) = c + (3(х), х є U(а; 62), де lim а(х) = 0, lim 3(х) = 0. Тоді
x—a x—a
/ (х)д(х) = (b + а(х))(е + 3 (х)) = bc + (Ь((х) +
oo
+аа(х) + а(х)3(х)), х є U(а; 6\) П U(а; 62).
39Оскільки функція b((х) + ca^+a^fifa) є нескінченно малою при х — а, то lim /(х)д(х) = bc. ►
x—a
З теореми 6 випливає, що сталий множник можна виносити за знак границі:
lim(c/(х)) = lim c lim /(х) = c lim /(х).
x—a x—a x—a x—a
Лема. Нехай lim д(х) = c, c = 0. Тодi існує проколений
x—a
o1 окіл U(а), у якому д(х) = 0 i функція ) обмежена.
М Нехай є = — > 0. Тоді згідно з означенням границі
o
функції маємо, що в деякому проколеному околі U(а) правиль-
I cI I cI I cI