В П Лавринчук - Вища математика загальний курс частина 2 математичний аналіз і диференціальні рівняння - страница 150

Страницы:
1  2  3  4  5  6  7  8  9  10  11  12  13  14  15  16  17  18  19  20  21  22  23  24  25  26  27  28  29  30  31  32  33  34  35  36  37  38  39  40  41  42  43  44  45  46  47  48  49  50  51  52  53  54  55  56  57  58  59  60  61  62  63  64  65  66  67  68  69  70  71  72  73  74  75  76  77  78  79  80  81  82  83  84  85  86  87  88  89  90  91  92  93  94  95  96  97  98  99  100  101  102  103  104  105  106  107  108  109  110  111  112  113  114  115  116  117  118  119  120  121  122  123  124  125  126  127  128  129  130  131  132  133  134  135  136  137  138  139  140  141  142  143  144  145  146  147  148  149  150  151  152  153  154  155  156  157  158  159  160  161  162  163  164  165  166  167  168  169  170  171  172  173  174  175  176  177  178  179  180  181  182  183  184  185  186  187  188  189  190  191  192  193  194  195  196  197  198  199  200  201  202  203  204  205  206  207  208  209  210  211  212  213  214  215  216  217  218  219  220  221  222  223  224  225  226  227  228  229  230  231  232  233  234  235  236  237  238  239  240  241  242  243  244  245  246  247  248  249  250  251  252  253  254  255  256  257  258  259  260  261  262  263  264  265  266  267  268  269  270  271  272  273  274  275  276  277  278  279  280  281 

L                   AC CB

де C - довільна точка на L.

З означення криволінійного інтеграла першого роду випли­ває, що він не залежить від того, в якому напрямку від А до В чи від В до А проходиться крива L, тобто

j f(x,v)dl = j f(x,v)dl.

AB BA

299Якщо /(х,у) = 1, (х; у) Є L, то з рівності (3) безпосередньо випливає, що

J dl = l,

AB

де l - довжина кривої AB.

Аналогічно вводиться поняття криволінійного інтеграла першого роду і у випадку, коли функція / визначена на просто­ровій кривій L, яка задана параметричними рівняннями (2):

~ n

/ /(х, у, z)dl = JmQ     /(&, Пк, Zk)Alk.

 

 

1.2. Обчислення криволінійного інтеграла пер­шого роду за допомогою визначеного штеграла.

Крива L, що задана рівняннями (1), називається гладкою (кусково-гладкою), якщо функції р і ф мають неперервні (кусково-неперервні) похідні, які одночасно не перетворюють­ся в нуль на [а; в] за винятком, можливо, скінченного числа точок. Для такої кривої відомо, що вона спрямлювана і її дов­жина l знаходиться за формулою

в

l = / V(p'(t))2 + (Ф'(і))Чі. (4)

а

Нехай функція /(х, у) = /(M) визначена на кривій L і непе­рервна в кожній її точці, тобто

lim    / (M) = / (M0)

ЬЭИ —Mo

для будь-якої точки Mo є L.

Теорема 1. Якщо L - кусково-гладка крива, задана рівнян­нями (1), а функція / неперервна в точках кривої L, то існує криволтШний ттеграл (3) i правильна рiвнiсть

в

J / (x,y)dl = j / (р(і),фШ(р'(і))2 + (ф>(і))Чі. (5)

L а

3< Доведемо рівність (5), вважаючи, що криволінійний ін­теграл першого роду від неперервної функції існує.

Оскільки кусково-гладка крива складається із скінченно­го числа гладких кривих, то надалі вважатимемо, що крива є гладкою і незамкненою.

Розіб'ємо відрізок [а; в] на n частин точками а = to < t\ < ... < tk-\ < tk < ... < tn = в. Йому відповідає розбиття кривої L на n частин точками Mk(p(tk);^(tk)), к Є {1,... ,n}.

Знайдемо довжину alk дуги Mk-\Mk за допомогою формули

(4)

tk

alk = J V(p'(t))2 + ф(t))2dt,   к Є{1,...,п}.

tk-l

Згідно з теоремою про середнє для визначеного інтеграла існує точка Tk Є [tk-i; tk] така, що

Alk = V(v'(Tk))2 + W(Tk))2Atk,   к Є{1,...,п},

 

де Atk = tk - tk-i.

Розглянемо   інтегральну   суму   а,   взявши   за точку

Nk(£k; Vk) Є Mk-iMk точку, де = p(Tk), Vk = ), к Є {1,..., n}. Тоді одержимо, що

n

а = Е f MTk),ф^)W(p'(Tk))2 + (ф'^))2Atk. k=i

Цей вираз є інтегральною сумою визначеного інтеграла для неперервної функції f (p(t)^(t))\/(p'(t))2 + (ф'(і))2 на відріз­ку [а; в]. її границя при X* =   max   Atk     0 дорівнює визна-

ke{i,...,n}

ченому інтегралу

 

в

j f (p(t)^(t)W(p'(t))2 + ^'(t))2dt.

 

 

30З іншого боку,


Страницы:
1  2  3  4  5  6  7  8  9  10  11  12  13  14  15  16  17  18  19  20  21  22  23  24  25  26  27  28  29  30  31  32  33  34  35  36  37  38  39  40  41  42  43  44  45  46  47  48  49  50  51  52  53  54  55  56  57  58  59  60  61  62  63  64  65  66  67  68  69  70  71  72  73  74  75  76  77  78  79  80  81  82  83  84  85  86  87  88  89  90  91  92  93  94  95  96  97  98  99  100  101  102  103  104  105  106  107  108  109  110  111  112  113  114  115  116  117  118  119  120  121  122  123  124  125  126  127  128  129  130  131  132  133  134  135  136  137  138  139  140  141  142  143  144  145  146  147  148  149  150  151  152  153  154  155  156  157  158  159  160  161  162  163  164  165  166  167  168  169  170  171  172  173  174  175  176  177  178  179  180  181  182  183  184  185  186  187  188  189  190  191  192  193  194  195  196  197  198  199  200  201  202  203  204  205  206  207  208  209  210  211  212  213  214  215  216  217  218  219  220  221  222  223  224  225  226  227  228  229  230  231  232  233  234  235  236  237  238  239  240  241  242  243  244  245  246  247  248  249  250  251  252  253  254  255  256  257  258  259  260  261  262  263  264  265  266  267  268  269  270  271  272  273  274  275  276  277  278  279  280  281 


Похожие статьи

В П Лавринчук - Вища математика загальний курс частина 2 математичний аналіз і диференціальні рівняння