В П Лавринчук - Вища математика загальний курс частина 2 математичний аналіз і диференціальні рівняння - страница 154

Страницы:
1  2  3  4  5  6  7  8  9  10  11  12  13  14  15  16  17  18  19  20  21  22  23  24  25  26  27  28  29  30  31  32  33  34  35  36  37  38  39  40  41  42  43  44  45  46  47  48  49  50  51  52  53  54  55  56  57  58  59  60  61  62  63  64  65  66  67  68  69  70  71  72  73  74  75  76  77  78  79  80  81  82  83  84  85  86  87  88  89  90  91  92  93  94  95  96  97  98  99  100  101  102  103  104  105  106  107  108  109  110  111  112  113  114  115  116  117  118  119  120  121  122  123  124  125  126  127  128  129  130  131  132  133  134  135  136  137  138  139  140  141  142  143  144  145  146  147  148  149  150  151  152  153  154  155  156  157  158  159  160  161  162  163  164  165  166  167  168  169  170  171  172  173  174  175  176  177  178  179  180  181  182  183  184  185  186  187  188  189  190  191  192  193  194  195  196  197  198  199  200  201  202  203  204  205  206  207  208  209  210  211  212  213  214  215  216  217  218  219  220  221  222  223  224  225  226  227  228  229  230  231  232  233  234  235  236  237  238  239  240  241  242  243  244  245  246  247  248  249  250  251  252  253  254  255  256  257  258  259  260  261  262  263  264  265  266  267  268  269  270  271  272  273  274  275  276  277  278  279  280  281 

00

306


=2a(1+3)§2. Криволінійні інтеграли другого роду

2.1. Означення криволінійного інтеграла друго­го роду. Нехай AB проста спрямлювана i незамкнена крива на площині Oxy, яка визначена параметричними рівняннями

 

x = <p(t),   y = ip(t),   t Є [а; в],

де A(ip(a); ф(а)), B(tp(@); ф(в)). Вважатимемо що на лінії AB вибрано такий напрямок руху, при якому A є початковою точ­кою, а B - кінцевою, що відображено в позначенні AB кривої.

Розглянемо на кривій AB дві обмежені функції P(x,y) i Q(x,y). Розіб'ємо відрізок [а; в] на n частин точками а = to < ti < ... < tn = в. При цьому крива AB розіб'ється на n частин точками A = Mo, Mi, ..Mn = B у напрямку від A до B. Нехай (xk; yk) - координати точки Mk, Axk = xk xk-i, Ayk =

yk yk-i, Alk - довжина дуги Mk-iMk, Al =    max   Alk.

ke[i,...,n}

На кожній елементарній дузі Mk-iMk візьмемо деяку точку Nk(^k; Vk) і складемо дві інтегральні суми:

n

o"i = ^ P ,Vk )Axk,

 

n

02 = Y Q(&,Vk)Ayk.

k=i

Якщо існують скінченні границі

 

lim oi = Ii,    lim 02 = h,

 

які не залежать ні від розбиття, ні від вибору точки Nk на

елементарній дузі Mk-iMk, к Є {1,... ,n}, то вони називаються криволінійним штегралом другого роду i позначаються відповідно символом

h = j P(x,y)dx   i   І2 = j Q(x,y)dy.

AB AB

307Сума І\ + І2 називається загальним криволінійним ін­тегралом другого роду i записується у вигляді

 

P (x,y)dx + Q(x,y)dy. (9)

AB

З означення криволінійного інтеграла другого роду випли­ває, що при зміні напрямку обходу кривої AB змінюється знак інтеграла, тобто

 

j P(x,y)dx + Q(x,y)dy = - j P(x,y)dx + Q(x,y)dy. AB BA

Якщо крива AB є замкненою, тобто точка A збігається з точкою B, то для неї існує два напрямки обходу. Якщо область, яка лежить всередині контура, залишається зліва відносно точ­ки, що рухається по кривій, то такий напрямок обходу контура L назвемо додатним, а протилежний до нього - від'ємним. Інтеграл (9) по замкненому контуру L в додатному напрямку позначають символом

j> P(x, y)dx + Q(x, y)dy

L

і визначають як суму двох інтегралів по незамкнених контурах, які утворюють L.

Аналогічно визначається криволінійний інтеграл другого роду

 

AB

для випадку просторової кривої, яка задана параметрично рів­няннями

x = <p(t),   y = 4>(t),z = x(t),   t Є [а; в], де A(p(a); ф(а); x(a)), B(<p(0); ф(в); х(в)).

 

 

302.2. Обчислення криволінійного інтеграла дру­гого роду за допомогою визначеного інтеграла.

Теорема 2. Якщо AB - кусково-гладка крива, яка задана рівняннями x = (p(t), y = tp(t), t Є [a; f3], а функції P(x,y) i Q(x,y) неперервт вздовж кривої AB, то існує ттеграл (9) i правильна рiвнiсть

Страницы:
1  2  3  4  5  6  7  8  9  10  11  12  13  14  15  16  17  18  19  20  21  22  23  24  25  26  27  28  29  30  31  32  33  34  35  36  37  38  39  40  41  42  43  44  45  46  47  48  49  50  51  52  53  54  55  56  57  58  59  60  61  62  63  64  65  66  67  68  69  70  71  72  73  74  75  76  77  78  79  80  81  82  83  84  85  86  87  88  89  90  91  92  93  94  95  96  97  98  99  100  101  102  103  104  105  106  107  108  109  110  111  112  113  114  115  116  117  118  119  120  121  122  123  124  125  126  127  128  129  130  131  132  133  134  135  136  137  138  139  140  141  142  143  144  145  146  147  148  149  150  151  152  153  154  155  156  157  158  159  160  161  162  163  164  165  166  167  168  169  170  171  172  173  174  175  176  177  178  179  180  181  182  183  184  185  186  187  188  189  190  191  192  193  194  195  196  197  198  199  200  201  202  203  204  205  206  207  208  209  210  211  212  213  214  215  216  217  218  219  220  221  222  223  224  225  226  227  228  229  230  231  232  233  234  235  236  237  238  239  240  241  242  243  244  245  246  247  248  249  250  251  252  253  254  255  256  257  258  259  260  261  262  263  264  265  266  267  268  269  270  271  272  273  274  275  276  277  278  279  280  281 


Похожие статьи

В П Лавринчук - Вища математика загальний курс частина 2 математичний аналіз і диференціальні рівняння