В П Лавринчук - Вища математика загальний курс частина 2 математичний аналіз і диференціальні рівняння - страница 157

Страницы:
1  2  3  4  5  6  7  8  9  10  11  12  13  14  15  16  17  18  19  20  21  22  23  24  25  26  27  28  29  30  31  32  33  34  35  36  37  38  39  40  41  42  43  44  45  46  47  48  49  50  51  52  53  54  55  56  57  58  59  60  61  62  63  64  65  66  67  68  69  70  71  72  73  74  75  76  77  78  79  80  81  82  83  84  85  86  87  88  89  90  91  92  93  94  95  96  97  98  99  100  101  102  103  104  105  106  107  108  109  110  111  112  113  114  115  116  117  118  119  120  121  122  123  124  125  126  127  128  129  130  131  132  133  134  135  136  137  138  139  140  141  142  143  144  145  146  147  148  149  150  151  152  153  154  155  156  157  158  159  160  161  162  163  164  165  166  167  168  169  170  171  172  173  174  175  176  177  178  179  180  181  182  183  184  185  186  187  188  189  190  191  192  193  194  195  196  197  198  199  200  201  202  203  204  205  206  207  208  209  210  211  212  213  214  215  216  217  218  219  220  221  222  223  224  225  226  227  228  229  230  231  232  233  234  235  236  237  238  239  240  241  242  243  244  245  246  247  248  249  250  251  252  253  254  255  256  257  258  259  260  261  262  263  264  265  266  267  268  269  270  271  272  273  274  275  276  277  278  279  280  281 

= j -f -fdl, (14) AB

де 1 = P(x, y, z)~i + Q(x, y, z)-- + R(x, y, , f = cos a~i + cos в j + cos j k , де a, в, Y - кути між дотичним вектором ~т> до кривої AB в точці M(x; y; z) і осями Ox, Oy, Oz.

 

 

 

 

 

 

312.4. Застосування криволінійних інтегралів дру­гого роду.

1) Робота сили (x,y) = P(x,y)~? + Q(x,y)~f при перемі­щенні матеріальної точки одиничної маси з точки A в точку B вздовж кривої AB знаходиться за формулою

J P(x, y)dx + Q(x, y)dy. AB

Якщо крива AB замкнена, то цей штеграл називається циркуляцією векторного поля Ц вздовж замкненого контура L.

Так само обчислюється робота сили i циркуляція при пере­міщенні матеріальної точки вздовж просторової кривої.

2) Нехай = (u(x, y); v(x, y)) - швидкість потоку нестисне-ної рідини в точці M(x; y). Тоді кількість q рідини, що витікає за одиницю часу з області Q, обмеженої гладким контуром L, дорівнює

 

 

L

де it - вектор зовнішньої нормалі до кривої L в точці M(x; y). Якщо напря­мок дотичного вектора ц до кривої L відповідає додатному напрямку обходу кривої і а - кут між вектором ц і віссю Ox, то

 

;sin ~П2^ = (smа; ~cosа),

u(x, y) sin а v(x, y) cos а. Тоді

q = j)(u(x, y) sin а v(x, y) cos а)dl = <j> udy vdx. LL

 

 

313Приклад 3. Обчислити циркуляцію векторного поля Ц = x i + 2y j + zk , вздовж кола L, утвореного перерізом циліндра x2 + y2 = 1 площиною z = 1, яке проходиться в додатному напрямку. Запишемо параметричні рівняння кола L:

x = cos t,   y = sin t,    z = 1,   t Є [0;2п].

Оскільки x'(t) = sint, y'(t) = cost, z' = 0, то

(j>(xdx + 2ydy + zdz) = J (cos t( —sin t)+2sin t cos t + 0)dt =

sin t cos tdt


2n


sin td sin t


2


sin2 t


2n


0,0 0

тобто циркуляція вектора Ц = x~i + 2y~] + zk, вздовж контура L дорівнює нулю. ►

2.5. Формула Гріна. Умови незалежності кри­волінійного інтеграла другого роду від шляху ін­тегрування.

2.5.1. Поняття простої області. На рис. 1,а) зображена замкнена область D\, яка обмежена знизу і зверху кусково-гладкими кривими y = yi(x) і y = y2(x), x є [a; b], а зліва і справа відрізками прямих x = a і x = b.
y


y d

c
а)


b


x O

Рис. 1


б)Така область називається y-трапецiєвидною або областю першого типу (див. §2, розділ 10). Аналогічно визначається x-трапецієвидна область (рис. 1, б)) або область другого типу (див. §2, розділ 10). Замкнену область D назвемо простою, як­що її можна розбити на скінченне число як x-трапецієвидних,

Страницы:
1  2  3  4  5  6  7  8  9  10  11  12  13  14  15  16  17  18  19  20  21  22  23  24  25  26  27  28  29  30  31  32  33  34  35  36  37  38  39  40  41  42  43  44  45  46  47  48  49  50  51  52  53  54  55  56  57  58  59  60  61  62  63  64  65  66  67  68  69  70  71  72  73  74  75  76  77  78  79  80  81  82  83  84  85  86  87  88  89  90  91  92  93  94  95  96  97  98  99  100  101  102  103  104  105  106  107  108  109  110  111  112  113  114  115  116  117  118  119  120  121  122  123  124  125  126  127  128  129  130  131  132  133  134  135  136  137  138  139  140  141  142  143  144  145  146  147  148  149  150  151  152  153  154  155  156  157  158  159  160  161  162  163  164  165  166  167  168  169  170  171  172  173  174  175  176  177  178  179  180  181  182  183  184  185  186  187  188  189  190  191  192  193  194  195  196  197  198  199  200  201  202  203  204  205  206  207  208  209  210  211  212  213  214  215  216  217  218  219  220  221  222  223  224  225  226  227  228  229  230  231  232  233  234  235  236  237  238  239  240  241  242  243  244  245  246  247  248  249  250  251  252  253  254  255  256  257  258  259  260  261  262  263  264  265  266  267  268  269  270  271  272  273  274  275  276  277  278  279  280  281 


Похожие статьи

В П Лавринчук - Вища математика загальний курс частина 2 математичний аналіз і диференціальні рівняння