В П Лавринчук - Вища математика загальний курс частина 2 математичний аналіз і диференціальні рівняння - страница 158

Страницы:
1  2  3  4  5  6  7  8  9  10  11  12  13  14  15  16  17  18  19  20  21  22  23  24  25  26  27  28  29  30  31  32  33  34  35  36  37  38  39  40  41  42  43  44  45  46  47  48  49  50  51  52  53  54  55  56  57  58  59  60  61  62  63  64  65  66  67  68  69  70  71  72  73  74  75  76  77  78  79  80  81  82  83  84  85  86  87  88  89  90  91  92  93  94  95  96  97  98  99  100  101  102  103  104  105  106  107  108  109  110  111  112  113  114  115  116  117  118  119  120  121  122  123  124  125  126  127  128  129  130  131  132  133  134  135  136  137  138  139  140  141  142  143  144  145  146  147  148  149  150  151  152  153  154  155  156  157  158  159  160  161  162  163  164  165  166  167  168  169  170  171  172  173  174  175  176  177  178  179  180  181  182  183  184  185  186  187  188  189  190  191  192  193  194  195  196  197  198  199  200  201  202  203  204  205  206  207  208  209  210  211  212  213  214  215  216  217  218  219  220  221  222  223  224  225  226  227  228  229  230  231  232  233  234  235  236  237  238  239  240  241  242  243  244  245  246  247  248  249  250  251  252  253  254  255  256  257  258  259  260  261  262  263  264  265  266  267  268  269  270  271  272  273  274  275  276  277  278  279  280  281 

 

31так і у-трапецієвидних областей. При цьому жодні дві області не мають спільних внутрішніх точок. Прикладами простих об­ластей є круг, прямокутник, кільце. На рис. 2, а) показано розбиття кільця на у-трапецієвидні, а на рис. 2, б) - на x-трапецієвидні області. Стрілками вказано додатний напрямок обходу межі кільця.
2.5.2. Формула Гріна.

Теорема 4. Нехай функціїP(x, у) i Q(x, у) та їхні частин­ні похідні dPQly'y'] і дХ'У неперервні в простій області D. Тоді правильна рівність

j>P(x,y)dx+Q(x,y)dy = jj (-^^ХХУІ--Щ^)dxdy, (15)

L де криволінійний інтеграл береться по межі L області D у додатному напрямку.

< Розглянемо спочатку випадок, коли область D є у-трапецієвидною (рис. 3). Вона обмежена знизу кусково-гладкою кривою FA, рівняння якої у = уі^), зверху - кривою BC, яка має рівняння у = у2^), а з боків - відрізками прямих CF (рівняння x = a) і AB (рівняння x = b).

звівши його до повтор-

внутрішній інтеграл знай-формулою Ньютона-

Очевидно, що межа L області D є об'єднанням цих ліній. Обчис­лимо подвійний інтеграл по об­ласті D від неперервної функції

за


315


-P(x, у)b yi{x)

 dxdy= 1 (/  dy>

D         a y-i(x)P(x, у)

v


У=У2(х)\

jdx = / P(x,y2(x))dx    P(x,y1(x))dx.

У=У\(х))Визначені інтеграли, які стоять справа у цій рівності можна подати у вигляді криволінійних інтегралів другого роду, а саме:

 

P(x,y2(x))dx =  J P(x,y)dx,

BC

 

P (x,y1(x))dx= jP (x,y)dx.

FA

Тому

P(x, у)

'   dxdy = —    P (x,y)dx     P (x,y)dx.

у

D                                FA BC

Розглянемо ще криволінійні інтеграли другого роду J P(x, y)dx і J P(x, y)dx. Вони обидва дорівнюють нулю, бAB CF

на AB абсциса x = b, а на CF - x = a і тому dx = 0.

f f -p(x,y)

Отже, подвійний інтеграл / /       —— dxdy можна вирази-

JJ ay

D

dxdy = —(^j P(x,y)dx +y P(x,y)dx+

ти через криволінійний інтеграл другого роду по всій межі L області D:

ay

D                                  PA BC

ap (x, y)

+ j P(x,y)dx + y P(x,y)dx^j = j P(x,y)dx, AB CF

316де крива L проходиться у додатному напрямку.

Тому для довільної у-трапецієвидної області D правильна рівність

aPdxdy = —j> P(x, y)dx. (16) DL Нехай область D є простою, тобто об'єднанням скінченного числа у-трапецієвидних областей (рис. 4). Очевидно, що відрі­зок AC розбиває область D на три частини Di, D2, D3, кожна з яких є у-трапецієвидною. Доведемо, що формула (16) пра­вильна і в цьому випадку.

Для області Di, згідно з формулою (16), маємDi


dxdy

P(x, y)

y

 

 

B

Di)


P(x, y)dx      P(x, y)dx— CF

 

P(x,y)dx, (17)

J

FAF


O


 

 

Рис. 4


x


де L - крива ABC, яка проходиться у додатно­му напрямку. Аналогічно для областей D2 і D3

Страницы:
1  2  3  4  5  6  7  8  9  10  11  12  13  14  15  16  17  18  19  20  21  22  23  24  25  26  27  28  29  30  31  32  33  34  35  36  37  38  39  40  41  42  43  44  45  46  47  48  49  50  51  52  53  54  55  56  57  58  59  60  61  62  63  64  65  66  67  68  69  70  71  72  73  74  75  76  77  78  79  80  81  82  83  84  85  86  87  88  89  90  91  92  93  94  95  96  97  98  99  100  101  102  103  104  105  106  107  108  109  110  111  112  113  114  115  116  117  118  119  120  121  122  123  124  125  126  127  128  129  130  131  132  133  134  135  136  137  138  139  140  141  142  143  144  145  146  147  148  149  150  151  152  153  154  155  156  157  158  159  160  161  162  163  164  165  166  167  168  169  170  171  172  173  174  175  176  177  178  179  180  181  182  183  184  185  186  187  188  189  190  191  192  193  194  195  196  197  198  199  200  201  202  203  204  205  206  207  208  209  210  211  212  213  214  215  216  217  218  219  220  221  222  223  224  225  226  227  228  229  230  231  232  233  234  235  236  237  238  239  240  241  242  243  244  245  246  247  248  249  250  251  252  253  254  255  256  257  258  259  260  261  262  263  264  265  266  267  268  269  270  271  272  273  274  275  276  277  278  279  280  281 


Похожие статьи

В П Лавринчук - Вища математика загальний курс частина 2 математичний аналіз і диференціальні рівняння