В П Лавринчук - Вища математика загальний курс частина 2 математичний аналіз і диференціальні рівняння - страница 164

Страницы:
1  2  3  4  5  6  7  8  9  10  11  12  13  14  15  16  17  18  19  20  21  22  23  24  25  26  27  28  29  30  31  32  33  34  35  36  37  38  39  40  41  42  43  44  45  46  47  48  49  50  51  52  53  54  55  56  57  58  59  60  61  62  63  64  65  66  67  68  69  70  71  72  73  74  75  76  77  78  79  80  81  82  83  84  85  86  87  88  89  90  91  92  93  94  95  96  97  98  99  100  101  102  103  104  105  106  107  108  109  110  111  112  113  114  115  116  117  118  119  120  121  122  123  124  125  126  127  128  129  130  131  132  133  134  135  136  137  138  139  140  141  142  143  144  145  146  147  148  149  150  151  152  153  154  155  156  157  158  159  160  161  162  163  164  165  166  167  168  169  170  171  172  173  174  175  176  177  178  179  180  181  182  183  184  185  186  187  188  189  190  191  192  193  194  195  196  197  198  199  200  201  202  203  204  205  206  207  208  209  210  211  212  213  214  215  216  217  218  219  220  221  222  223  224  225  226  227  228  229  230  231  232  233  234  235  236  237  238  239  240  241  242  243  244  245  246  247  248  249  250  251  252  253  254  255  256  257  258  259  260  261  262  263  264  265  266  267  268  269  270  271  272  273  274  275  276  277  278  279  280  281 

Якщо умова, аналогічна 3), виконується також для точок межі області Q, то поверхню називатимемо простою. Мно­жина точок поверхні, які відповідають точкам межі області Q, утворюють межу або край поверхні. На рис. 1 зображе­но частину конічної поверхні x = u cos v, y = u sin v, z = u, (u; v) Є Q = {(u; v) : 0 < a < u < b, 0 < v < п}, межею якої є замкнений контур A'B'C'D', що відповідає прямокутни­ку ABCD - межі області Q.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

326

Точки поверхні, які не належать її межі, називаються внут­рішніми точками. Якщо ж умова типу 3) не виконується для межі області Q, то поверхня може не мати краю і у такому ви­падку вона називається замкненою. Прикладом такої поверх­ні є сфера, яка задана рівнянням (5).

Поняття внутрішніх і межових точок поверхні можна вве­сти й так: точка М поверхні називається внутрішньою, якщо існує окіл точки M такий, що множина точок цього околу, які не належать поверхні, не є зв'язною; точка поверхні, яка не є внутрішньою, називається межевою.

1.2. Поняття гладкої поверхні. Нехай поверхня S за­дана або явно, або неявно, або параметрично. Будемо цю по­верхню називати гладкою, якщо для довільної її внутрішньої точки існує такий окіл, що вирізає частину поверхні S, яка до­пускає явне зображення вигляду (1), або (1'), або (1"), де f -неперервно диференційовна функція.

З цього означення випливає, що в кожній внутрішній точці гладкої поверхні S існує дотична площина і нормаль.

Відомо, що рівняння дотичної площини до поверхні S в точ­ці Mo(xo; Уо; zo) має вигляд

9-Ms>(x - xo) +                   - vo) - (z - f (xo.vo)) = 0,

 

327а вектор нормалі

_ = / df (Mo) df (Mo) ^

V   dx   '    dy    ' /'

якщо поверхня S задана рівнянням (1).

Нехай поверхня S задана неявно рівнянням (2) і нехай
функція F неперервно диференційовна. Точка Mo(xo; yo; zo)
поверхні S називається неособливою, якщо в цій точці
/ dF (Mo) \2 + / dF (Mo) \2 + / dF (Mo) Л2 = o y
l^^J  +{^y—)                                                 = 0. У протилежно-

му випадку точка Mo називається особливою. Якщо поверхня не містить особливих точок, то вона є гладкою. Рівняння до­тичної площини до поверхні S в неособливій внутрішній точці Mo(xo; yo; zo) має виглядdF(Mo) (x dx

Вектор ) + dF (Mo) (


) + dF (Mo) (


zo) = 0.F        F F

'" = (&(M); ddy(Mo); &(Mo))

є вектором нормалі до поверхні S в точці M .

Нехай поверхня S задана параметрично рівняннями (4) або, що одне й те са­ме, рівнянням (6). Точка M0(p(u,v),ip(u,v),x(u,v)) називається неособли­вою точкою поверхні S, якщо   в   цій   точці вектори

= P'ju, V)~t + ф'и(и, V)\f +

X'u(u,v)k^ і -?v = <pJ^u,v)~T +

^'v(U7V) j +X'v(U7V) к лінійно незалежні (неколінеарні). У протилежному випадку точка Mo називається особливою.

Проста поверхня, яка не має особливих точок, є гладкою.

 

 

32Якщо зафіксувати в рівняннях (4) значення параметра и = Uq, то одержимо на поверхні s криву
p(uo,v),


y


ip(u0,v),


z


x(uq,v).Змінюючи значення Uo, дістанемо цілу сім'ю ліній, які на­зивають и-лініями.

Аналогічно, фіксуючи Vo, матимемо сім'ю v-ліній на по­верхні S

 

x = p(u,Vo),   x = ip(u,Vo),    z = x(u,Vq).

Вектор ~г>u є дотичним вектором до v-лінії, а ~r>v - дотичним вектором до u-лінії. Тому, якщо точка Мо поверхні S неособли­ва, то ці два вектори, які виходять з однієї точки, неколінеарні й утворюють площину, що називається дотичною площиною до поверхні S в точці Мо.

Рівняння дотичної площини до поверхні S в неособливій внутрішній точці M0(p(u0,v0); tp(u0,v0); x(uo,vo)) має вигляд

Страницы:
1  2  3  4  5  6  7  8  9  10  11  12  13  14  15  16  17  18  19  20  21  22  23  24  25  26  27  28  29  30  31  32  33  34  35  36  37  38  39  40  41  42  43  44  45  46  47  48  49  50  51  52  53  54  55  56  57  58  59  60  61  62  63  64  65  66  67  68  69  70  71  72  73  74  75  76  77  78  79  80  81  82  83  84  85  86  87  88  89  90  91  92  93  94  95  96  97  98  99  100  101  102  103  104  105  106  107  108  109  110  111  112  113  114  115  116  117  118  119  120  121  122  123  124  125  126  127  128  129  130  131  132  133  134  135  136  137  138  139  140  141  142  143  144  145  146  147  148  149  150  151  152  153  154  155  156  157  158  159  160  161  162  163  164  165  166  167  168  169  170  171  172  173  174  175  176  177  178  179  180  181  182  183  184  185  186  187  188  189  190  191  192  193  194  195  196  197  198  199  200  201  202  203  204  205  206  207  208  209  210  211  212  213  214  215  216  217  218  219  220  221  222  223  224  225  226  227  228  229  230  231  232  233  234  235  236  237  238  239  240  241  242  243  244  245  246  247  248  249  250  251  252  253  254  255  256  257  258  259  260  261  262  263  264  265  266  267  268  269  270  271  272  273  274  275  276  277  278  279  280  281 


Похожие статьи

В П Лавринчук - Вища математика загальний курс частина 2 математичний аналіз і диференціальні рівняння