В П Лавринчук - Вища математика загальний курс частина 2 математичний аналіз і диференціальні рівняння - страница 173

Страницы:
1  2  3  4  5  6  7  8  9  10  11  12  13  14  15  16  17  18  19  20  21  22  23  24  25  26  27  28  29  30  31  32  33  34  35  36  37  38  39  40  41  42  43  44  45  46  47  48  49  50  51  52  53  54  55  56  57  58  59  60  61  62  63  64  65  66  67  68  69  70  71  72  73  74  75  76  77  78  79  80  81  82  83  84  85  86  87  88  89  90  91  92  93  94  95  96  97  98  99  100  101  102  103  104  105  106  107  108  109  110  111  112  113  114  115  116  117  118  119  120  121  122  123  124  125  126  127  128  129  130  131  132  133  134  135  136  137  138  139  140  141  142  143  144  145  146  147  148  149  150  151  152  153  154  155  156  157  158  159  160  161  162  163  164  165  166  167  168  169  170  171  172  173  174  175  176  177  178  179  180  181  182  183  184  185  186  187  188  189  190  191  192  193  194  195  196  197  198  199  200  201  202  203  204  205  206  207  208  209  210  211  212  213  214  215  216  217  218  219  220  221  222  223  224  225  226  227  228  229  230  231  232  233  234  235  236  237  238  239  240  241  242  243  244  245  246  247  248  249  250  251  252  253  254  255  256  257  258  259  260  261  262  263  264  265  266  267  268  269  270  271  272  273  274  275  276  277  278  279  280  281 

ія пів

dxdyа

а2 r2


п/2 a

r3dr

j    pJ [а2  r2


4cj,p


п/

 

 

X


X

 

r3dr л/а2 r2

 

(а2 t2)§3. Повєрхнєві штеграли другого роду

3.1. Сторона поверхш. Якщо поверхня обмежує деяке тіло, то розрізняють зовнішню і внутрішню її сторони. При­кладом такої поверхні є сфера. Якщо поверхня задана рівнян­ням z = f (x,y), то розрізняють верхню і нижню її сторони,

 

34тобто вона має дві сторони. Поряд з ними існують й односто­ронні поверхні. Розглянемо ці поняття детальніше.

Нехай задано деяку гладку поверхню S. На цій поверхні візьмемо внутрішню точку Mo і проведемо в ній нормаль до поверхні. На нормалі за допомогою одиничного вектора it ви­беремо один з двох напрямків. Проведемо на поверхні S через точку Mo деяку замкнену криву L, яка не має спільних то­чок з краями поверхні S. Вздовж L переміщатимемо вектор it так, щоб він весь час був нормальним вектором до поверхні S і змінювався неперервно. Тоді матимемо такі два випадки: 1) при поверненні в точку Mo напрям вектора 1 не зміниться; 2) напрям вектора it зміниться на протилежний.

Гладка поверхня S називається двосторонньою, якщо при обході будь-якого замкненого контура L, який лежить на по­верхні S і не має спільних точок з краями поверхні, напрямок нормалі до поверхні не змінюється при поверненні в початкову точку Mo Є L.

Якщо ж на поверхні S існує замкнений контур, при обході якого напрямок нормалі змінюється на протилежний, то по­верхня S називається односторонньою.

З цього означення випливає, що коли поверхня S двосторон­ня, то в кожній її точці M можна вибрати одиничний вектор нормалі 1 (M) так, щоб вектор 1 (M) залежав від точки M неперервно. Очевидно, що на двосторонній поверхні S можна побудувати тільки дві такі неперервні функції 1t (M) і 1t (M), причому, кожна з цих функцій задає на S неперервне поле нор­малей.

Прикладами двосторонньої поверхні є звичайна площина, круг, многокутник, тощо.

Якщо поверхня задана рівнянням z = f(x, y), (x; y) Є D, де

f - неперервна і має неперервні частинні похідні —— і —, то

dx dy

легко бачити, що така поверхня є двосторонньою.

 

Двосторонню поверхню ще називають орієнтова­ною, а вибір її певної сто­рони - орiєнтацiєю по­верхні.

Нехай S - орієнтована поверхня, обмежена одним або кількома контурами.

 

Напрям обходу контура L вважається додатним або узгод­женим з орiєнтацiєю S, якщо спостерігач, розміщений на поверхні так, що напрямок вектора нормалі збігається з на­прямком від ніг до голови, обходить контур L, залишаючи по­верхню S зліва від себе. Протилежний напрямок вважається від'ємним.

Якщо L будь-який замкнений контур, що охоплює частину орієнто­ваної поверхні S, то напрямок обходу цього контура, узгоджений з орієн­тацією поверхні S, вважається до­датним, якщо при обході конутра ча­стина поверхні залишається зліва. Правило узгодження орієнтації поверхні S і контура L, що її охоплює, можна сформулювати так: нехай 1 - одиничний вектор нормалі до поверхні S в деякій точці M, що лежить на L і нехай 1 - вектор, перпендикулярний до L і до 1 і на­прямлений у той бік, де розміщена поверхня S. Тоді додатний напрямок обходу контура L визначається напрямком вектора [ї,1 ].

Якщо поверхня S задана рівнянням z = f (x,y), (x; y) Є D, де функція f неперервно диференційовна на D, то на верх­ній стороні поверхні неперервне поле нормалей можна задати вектор-функцією

а на нижній стороні - вектор-функцією
Якщо гладка двостороння поверхня задана параметрично,

то на одній її стороні неперервне поле нормалей можна задати вектор-функцією 1 = (A; B; C), а на другій - вектор-функцією tt = (-A; —B; —C), де A, B, C визначаються формулами (7)

з пункту 1.2.


Нехай поверхня S є кусково-гладкою,  тобто вонана ній може не існувати дотична площина. У цьому випадку сторона поверхні S визначається так. Візьмемо на гладкій по­верхні Si одну із сторін, тобто один із двох напрямків нормалі. Йому відповідає обхід контура Li поверхні Si. Отже, й на l має­мо певний напрямок руху. Оскільки поверхня S двостороння, то на S2 можна вибрати таку сторону, тобто напрямок обходу контура L2, при якому межа l обходиться у напрямку, який протилежний до того, який був при обході контура Li .

Очевидно, що двостороння кусково-гладка поверхня має дві сторони. Наприклад, якщо замкнена поверхня S є кусково-гладкою і обмежує деяке тіло, то вона двостороння і одна з її сторін буде зовнішньою, а друга внутрішньою по відношен­ню до тіла, що відповідає нормалі, яка напрямлена зовні або в середину тіла. Наприклад, якщо S є межею призми, то S є кусково-гладкою поверхнею, що складається з її бічних граней.Тоді на S можна виділити як зовнішню сторону, так і внутріш­ню сторону відносно призми.

3.2. Означення поверхневого Інтеграла другого роду та його обчислення. Нехай S - гладка двостороння поверхня. Розглядатимемо надалі одну із її сторін, визначену полем нормалей 1 (M), M є S. Нехай a(M), 0(M), j(M) -кути, які утворює вектор 1 (M) з осями координат Ox, Oy і Oz відповідно. Припустимо, що на поверхні S задано неперервну вектор-функцію

(M) = P (M )1г + Q(M + R(M )~t,

Страницы:
1  2  3  4  5  6  7  8  9  10  11  12  13  14  15  16  17  18  19  20  21  22  23  24  25  26  27  28  29  30  31  32  33  34  35  36  37  38  39  40  41  42  43  44  45  46  47  48  49  50  51  52  53  54  55  56  57  58  59  60  61  62  63  64  65  66  67  68  69  70  71  72  73  74  75  76  77  78  79  80  81  82  83  84  85  86  87  88  89  90  91  92  93  94  95  96  97  98  99  100  101  102  103  104  105  106  107  108  109  110  111  112  113  114  115  116  117  118  119  120  121  122  123  124  125  126  127  128  129  130  131  132  133  134  135  136  137  138  139  140  141  142  143  144  145  146  147  148  149  150  151  152  153  154  155  156  157  158  159  160  161  162  163  164  165  166  167  168  169  170  171  172  173  174  175  176  177  178  179  180  181  182  183  184  185  186  187  188  189  190  191  192  193  194  195  196  197  198  199  200  201  202  203  204  205  206  207  208  209  210  211  212  213  214  215  216  217  218  219  220  221  222  223  224  225  226  227  228  229  230  231  232  233  234  235  236  237  238  239  240  241  242  243  244  245  246  247  248  249  250  251  252  253  254  255  256  257  258  259  260  261  262  263  264  265  266  267  268  269  270  271  272  273  274  275  276  277  278  279  280  281 


Похожие статьи

В П Лавринчук - Вища математика загальний курс частина 2 математичний аналіз і диференціальні рівняння