В П Лавринчук - Вища математика загальний курс частина 2 математичний аналіз і диференціальні рівняння - страница 178

Страницы:
1  2  3  4  5  6  7  8  9  10  11  12  13  14  15  16  17  18  19  20  21  22  23  24  25  26  27  28  29  30  31  32  33  34  35  36  37  38  39  40  41  42  43  44  45  46  47  48  49  50  51  52  53  54  55  56  57  58  59  60  61  62  63  64  65  66  67  68  69  70  71  72  73  74  75  76  77  78  79  80  81  82  83  84  85  86  87  88  89  90  91  92  93  94  95  96  97  98  99  100  101  102  103  104  105  106  107  108  109  110  111  112  113  114  115  116  117  118  119  120  121  122  123  124  125  126  127  128  129  130  131  132  133  134  135  136  137  138  139  140  141  142  143  144  145  146  147  148  149  150  151  152  153  154  155  156  157  158  159  160  161  162  163  164  165  166  167  168  169  170  171  172  173  174  175  176  177  178  179  180  181  182  183  184  185  186  187  188  189  190  191  192  193  194  195  196  197  198  199  200  201  202  203  204  205  206  207  208  209  210  211  212  213  214  215  216  217  218  219  220  221  222  223  224  225  226  227  228  229  230  231  232  233  234  235  236  237  238  239  240  241  242  243  244  245  246  247  248  249  250  251  252  253  254  255  256  257  258  259  260  261  262  263  264  265  266  267  268  269  270  271  272  273  274  275  276  277  278  279  280  281 

/дР                  дР f

дг-dzdx дду-dxdy = у> Р(х, у, ір(х, y))dx, (6)

s г

 

 

 

 

 

 

 

де обхід межі Г області D додатний, тобто здійснюється проти годинникової стрілки. Зауважимо, що коли точка (x; y) є Г, то точка (x; y; (p(x, y)) є L, а додатний обхід кривої Г спричиняє відповідний обхід лінії L - межі поверхні S. Тому

 

 

г l а, тоді з рівності (6) випливає, що

/

дР                   дР (

-—dzdx —— dxdy = ф Р(x, y, z)dx,

s l

тобто рівність

Запишемо формулу Стокса у векторній формі. Для цього введемо вектор-функцію

(x, y, z) = (x, y, z); Q(x, y, z); R(x, y, z)),   (x; y; z) Є П,

і побудуємо ротор або вихор вектора , який позначається символом rot F* і визначається формулою

rot F = (д^_д^; дР>__дк дЯ_дР_ \

 

Тоді формула Стокса (2) матиме вигляд

j> Pdx + Qdy + Rdz = jj rotF it da. (8)

 

357Ліва частина формули (8) є циркуляцієї вектора вздовж лінії L, а права частина - потік вектора rot F* через поверхню S узаданому напрямку.

Введемо символічний вектор Гамільтона або вектор

д   д   д \

набла F

~дх' ду' dz)' Тоді градієнт функції f (x,y,z) за­писується у вигляді добутку вектора F на функцію fа


grad f = ilx; Ify; lfz)f = Ff

ч дх ду Iz >

rot F у вигляді векторного добутку F на F, тобrotF =      , F]


i    j       к

д    д      д

дх   ду  dz

P    Q    R


(9)Зауважимо, що коли поверхня S є плоскою, наприклад, об­ласть у площині z = const, то з формули (1) випливає формула Гріна

j> Pdx + Qdy = JJ {^д^ - дpp)dxdy,

L S

оскільки в цьому випадку it = (0; 0; 1), а dz = 0.

Якщо межа L поверхні S складається з декількох кривих, то в лівій частині формули (1) треба писати суму інтегралів по цих кривих, які проходяться в додатному напрямку відносно вибраної сторони поверхні.

Для запам'ятовування формули Стокса зауважимо, що третій доданок у правій частині цієї формули є одним з елемен­тів формули Гріна. Перший і другий доданки формули Стокса одержуються з її третього доданку циклічною перестановкою змінних х, у, z і функцій P, Q, R:

R,z

 

 

35За допомогою формули Стокса можна вивчити питання про незалежність криволінійного інтеграла від шляху інтегрування у випадку простору R3, аналогічно тому як це було зроблено раніше за допомогою формули Гріна у випадку площини R2.

Теорема 2. Якщо функції P = P(x,y,z), Q = Q(x,y,z) і R = R(x, y, z) неперервні в області Q с R3, то наступні твердження еквівалентні:

1) для довільного замкненого кусково-гладкого контура Г с Q, правильна рівність

і Pdx + Qdy + Rdz = 0;

2) для довільних точок A і B з області Q криволінійний інтеграл j Pdx + Qdy + Rdz не залежить від шляху інте-

AB

грування, що міститься в Q;

3) вираз Pdx + Qdy + Rdz є повним диференціалом в Q, тобто існує функція u = u(x,y,z), (x; y; z) Є Q, така, що

Страницы:
1  2  3  4  5  6  7  8  9  10  11  12  13  14  15  16  17  18  19  20  21  22  23  24  25  26  27  28  29  30  31  32  33  34  35  36  37  38  39  40  41  42  43  44  45  46  47  48  49  50  51  52  53  54  55  56  57  58  59  60  61  62  63  64  65  66  67  68  69  70  71  72  73  74  75  76  77  78  79  80  81  82  83  84  85  86  87  88  89  90  91  92  93  94  95  96  97  98  99  100  101  102  103  104  105  106  107  108  109  110  111  112  113  114  115  116  117  118  119  120  121  122  123  124  125  126  127  128  129  130  131  132  133  134  135  136  137  138  139  140  141  142  143  144  145  146  147  148  149  150  151  152  153  154  155  156  157  158  159  160  161  162  163  164  165  166  167  168  169  170  171  172  173  174  175  176  177  178  179  180  181  182  183  184  185  186  187  188  189  190  191  192  193  194  195  196  197  198  199  200  201  202  203  204  205  206  207  208  209  210  211  212  213  214  215  216  217  218  219  220  221  222  223  224  225  226  227  228  229  230  231  232  233  234  235  236  237  238  239  240  241  242  243  244  245  246  247  248  249  250  251  252  253  254  255  256  257  258  259  260  261  262  263  264  265  266  267  268  269  270  271  272  273  274  275  276  277  278  279  280  281 


Похожие статьи

В П Лавринчук - Вища математика загальний курс частина 2 математичний аналіз і диференціальні рівняння