В П Лавринчук - Вища математика загальний курс частина 2 математичний аналіз і диференціальні рівняння - страница 179

Страницы:
1  2  3  4  5  6  7  8  9  10  11  12  13  14  15  16  17  18  19  20  21  22  23  24  25  26  27  28  29  30  31  32  33  34  35  36  37  38  39  40  41  42  43  44  45  46  47  48  49  50  51  52  53  54  55  56  57  58  59  60  61  62  63  64  65  66  67  68  69  70  71  72  73  74  75  76  77  78  79  80  81  82  83  84  85  86  87  88  89  90  91  92  93  94  95  96  97  98  99  100  101  102  103  104  105  106  107  108  109  110  111  112  113  114  115  116  117  118  119  120  121  122  123  124  125  126  127  128  129  130  131  132  133  134  135  136  137  138  139  140  141  142  143  144  145  146  147  148  149  150  151  152  153  154  155  156  157  158  159  160  161  162  163  164  165  166  167  168  169  170  171  172  173  174  175  176  177  178  179  180  181  182  183  184  185  186  187  188  189  190  191  192  193  194  195  196  197  198  199  200  201  202  203  204  205  206  207  208  209  210  211  212  213  214  215  216  217  218  219  220  221  222  223  224  225  226  227  228  229  230  231  232  233  234  235  236  237  238  239  240  241  242  243  244  245  246  247  248  249  250  251  252  253  254  255  256  257  258  259  260  261  262  263  264  265  266  267  268  269  270  271  272  273  274  275  276  277  278  279  280  281 

du(x, y, z) = P(x, y, z)dx + Q(x, y, z)dy + R(x, y, z)dz.

При цьому для довільної кусково-гладкої кривої AB, що ле­жить в Q, правильна рівність

 

Pdx + Qdy + Rdz = u(B) u(A).

AB

Сформульовані вище умови складно перевірити на прак­тиці. Тому виникає необхідність знайти ефективну умову, що еквівалентна їм. Для того щоб сформулювати цю умову, вве­демо поняття поверхнево однозв'язної просторової області. Об­ласть Q с R3 називається поверхнево однозв'язною, як­що для довільного замкненого контура L с Q існує поверхня S с Q, для якої цей контур є межею. Наприклад, якщо Q -куля або тіло, обмежене двома концентричними сферами, то Q - поверхнево однозв'язна область. Однак тор (бублик) не є поверхнево однозв'язною областю.

 

359Теорема 3. Якщо Q - поверхнево однозв область про­стору R3, а функції P, Q i R неперервні в Q разом зі своїми частинними похідними першого порядку, то кожна з умов 1), 2), 3) теореми 2 еквівалентна умові:

4) в області Q мають місце рівності

dR = dQ dP = dR dQ = dP dy     dx' dz     dx' dx     dy'

тобто rot F = 00.

Зауваження. Функція u з умови 3) знаходиться за форму­лою

(x;y;z)

u(x,y,z)=    J    Pdx + Qdy + Rdz + C, (11)

(xo;yo;zo)

де штеграл в правій частиш є криволінійним інтегралом дру­гого роду по довільній лінії, яка лежить в Q і з'єднує фіксовану точку (xo; yo; zo) є Q з будь-якою точкою (x; y; z) є Q, а C - до­вільна стала. Якщо за цю лінію взяти ламану, яка складається з трьох відрізків, що паралельні відповідно осі Ox, Oy і Oz, то формула (11) набуде вигляду

X У

u(x,y,z) = J P(x,y,z)dx + J Q(xo,y,z)dy+

xo yo

z

+ У R(xo,yo,z)dz + C. (12)

zo

Функцію u називають первісною для виразу Pdx+Qdy+ Rdz в області Q, а також - потенціалом векторного поля,

що визначається вектором F = (P; Q; R). Векторне поле при цьому називають потенщальним.

Приклад 1. Застосовуючи формулу Стокса, знайти кри­волінійний інтеграл другого роду I = § x2y3dx + dy + zdz, де L -

L

коло x2 + y2 = R2, z = 0, яке обходиться проти годинникової стріл­ки.

 

36< Згідно з формулою (1) маємо

т     І 2 з,              л       її (dR    dQ) ,
I = j> x y dx + dy + zdz = JJ y~d         dd~jdydz+

L S

+ {dP ~ іг) dzdx + (dQ- - dxdy,
dz
    dx              dx dy

де S - поверхня сфери z = \JR2 x2 y2, у якої взято верхню сто­рону, щоб узгодити з обходом контура L . Оскільки P = x2y3, Q = 1, R = z, то

Страницы:
1  2  3  4  5  6  7  8  9  10  11  12  13  14  15  16  17  18  19  20  21  22  23  24  25  26  27  28  29  30  31  32  33  34  35  36  37  38  39  40  41  42  43  44  45  46  47  48  49  50  51  52  53  54  55  56  57  58  59  60  61  62  63  64  65  66  67  68  69  70  71  72  73  74  75  76  77  78  79  80  81  82  83  84  85  86  87  88  89  90  91  92  93  94  95  96  97  98  99  100  101  102  103  104  105  106  107  108  109  110  111  112  113  114  115  116  117  118  119  120  121  122  123  124  125  126  127  128  129  130  131  132  133  134  135  136  137  138  139  140  141  142  143  144  145  146  147  148  149  150  151  152  153  154  155  156  157  158  159  160  161  162  163  164  165  166  167  168  169  170  171  172  173  174  175  176  177  178  179  180  181  182  183  184  185  186  187  188  189  190  191  192  193  194  195  196  197  198  199  200  201  202  203  204  205  206  207  208  209  210  211  212  213  214  215  216  217  218  219  220  221  222  223  224  225  226  227  228  229  230  231  232  233  234  235  236  237  238  239  240  241  242  243  244  245  246  247  248  249  250  251  252  253  254  255  256  257  258  259  260  261  262  263  264  265  266  267  268  269  270  271  272  273  274  275  276  277  278  279  280  281 


Похожие статьи

В П Лавринчук - Вища математика загальний курс частина 2 математичний аналіз і диференціальні рівняння