В П Лавринчук - Вища математика загальний курс частина 2 математичний аналіз і диференціальні рівняння - страница 182

Страницы:
1  2  3  4  5  6  7  8  9  10  11  12  13  14  15  16  17  18  19  20  21  22  23  24  25  26  27  28  29  30  31  32  33  34  35  36  37  38  39  40  41  42  43  44  45  46  47  48  49  50  51  52  53  54  55  56  57  58  59  60  61  62  63  64  65  66  67  68  69  70  71  72  73  74  75  76  77  78  79  80  81  82  83  84  85  86  87  88  89  90  91  92  93  94  95  96  97  98  99  100  101  102  103  104  105  106  107  108  109  110  111  112  113  114  115  116  117  118  119  120  121  122  123  124  125  126  127  128  129  130  131  132  133  134  135  136  137  138  139  140  141  142  143  144  145  146  147  148  149  150  151  152  153  154  155  156  157  158  159  160  161  162  163  164  165  166  167  168  169  170  171  172  173  174  175  176  177  178  179  180  181  182  183  184  185  186  187  188  189  190  191  192  193  194  195  196  197  198  199  200  201  202  203  204  205  206  207  208  209  210  211  212  213  214  215  216  217  218  219  220  221  222  223  224  225  226  227  228  229  230  231  232  233  234  235  236  237  238  239  240  241  242  243  244  245  246  247  248  249  250  251  252  253  254  255  256  257  258  259  260  261  262  263  264  265  266  267  268  269  270  271  272  273  274  275  276  277  278  279  280  281 

< Згідно з умовою теореми інтеграли в обох частинах рів­ності (1) існують, оскільки їхні підінтегральні функції непере­рвні. Тому досить довести правильність рівності відповідних інтегралів

dP

-dxdydz =11 Pdydz, (2)

d

Qdzdx, (3)

dR

-d^dxdydz =jj Rdxdy. (4)

36Рівності (2) - (4) доводяться аналогічно, а тому розглянемо доведення однієї з них, наприклад, (4). Доведемо цю рівність для випадку, коли область Q - це тіло, яке обмежене знизу графіком функції z = ip\(x,y), (x; y) Є D, зверху - графіком функції z = ip2(x,y), (x; y) Є D, а з боків - циліндричною по­верхнею (рис. 1). Вважатимемо, що функції tp\ і р>2 неперервні разом з їхніми частинними похідними першого порядку.

Розглянемо поверхні, які
обмежують тіло
Q. Нехай S\ -
поверхня, що визначена рівнян-
ням
z = <рі,у), ;у) Є D,
згідно з умовою теореми вектор
нормалі
it на ній напрямлений
зовні, а це означає, що береть-
ся нижня сторона поверхні
Si.
Поверхня 5*2 має рівняння z =
<f2(x,y), ;у) Є D. На ній тре-
р                                  ба розглядати верхню сторону.

Поверхня S3 є циліндричною поверхнею, на якій нормаль it є зовнішньою. Отже, межа S тіла Q складається з трьох поверхонь S = S1IJ S2 IJ S3.

Зведемо потрійний інтеграл формули (4) до повторного:-—- dxdydz dz


 

D


<P2(x,y)

^   j --R--dzsjdxdy

¥>l(x,y)R(x, y, Lp2(x, y))dxdy - JJ R(x, y, pi(x, y))dxdy.

DD

Скориставшись формулою, яка зв'язує поверхневий інте­грал з подвійним, дістанемS2


Si365Розглянемо поверхневий інтеграл другого роду від функції R(x, y, z) по циліндричній поверхні S3 і зведемо його до поверх­невого інтеграла першого роду:

jj щ^.^ = jj m^a,

S3 S

де y - кут між нормаллю 1tt до поверхні S3 і віссю Oz. Оскільки п

Y = 2, то cos y = 0 скрізь на поверхні S3. Тому

jj R(x,y,z)dxdy = 0. (5')

S3

Отже, скориставшись формулами (5) і (5'), одержимо dzdxdydz = Jj R(x,y,z)dxdy + Jj R(x,y, z)dxdy+ jj R(x,y,z)dxdy = jj R(x,y,z)dxdy,

S3 S

тобто формулу (4). ►

dP dQ dR jj     +dy+~d^)dxdydz = jj

n S

Формулу Остроградського-Гаусса (1) можна записати і за допомогою поверхневого інтеграла першого роду

dP    dQ    dR \

---- Ь—Ь——-) dxdydz =11 (P cos а + Q cos в + R cos Y)da,

(6)

де it = (cos a; cos в; cos y) - одиничний вектор зовнішньої нор­малі до поверхні S.

Розглянемо векторне поле 1 = (P; Q; R) і введемо поняття дивергенції div11:

d[v 1 = dP + dQ + dR r7)

dx     dy     dz'

 

 

366Якщо скористатися (7), то формулу (6) можна записати у вигляді

JJJ div 'dxdydz = jj F* it da. (8)

П S

Зауважимо, що divF - це функція, яка визначена на Q. Дивергенцію векторного поля можна записати і за допомогою вектора Гамільтона 1, а саме:

divF = FF,

тобто div F є скалярним добутком векторів

Страницы:
1  2  3  4  5  6  7  8  9  10  11  12  13  14  15  16  17  18  19  20  21  22  23  24  25  26  27  28  29  30  31  32  33  34  35  36  37  38  39  40  41  42  43  44  45  46  47  48  49  50  51  52  53  54  55  56  57  58  59  60  61  62  63  64  65  66  67  68  69  70  71  72  73  74  75  76  77  78  79  80  81  82  83  84  85  86  87  88  89  90  91  92  93  94  95  96  97  98  99  100  101  102  103  104  105  106  107  108  109  110  111  112  113  114  115  116  117  118  119  120  121  122  123  124  125  126  127  128  129  130  131  132  133  134  135  136  137  138  139  140  141  142  143  144  145  146  147  148  149  150  151  152  153  154  155  156  157  158  159  160  161  162  163  164  165  166  167  168  169  170  171  172  173  174  175  176  177  178  179  180  181  182  183  184  185  186  187  188  189  190  191  192  193  194  195  196  197  198  199  200  201  202  203  204  205  206  207  208  209  210  211  212  213  214  215  216  217  218  219  220  221  222  223  224  225  226  227  228  229  230  231  232  233  234  235  236  237  238  239  240  241  242  243  244  245  246  247  248  249  250  251  252  253  254  255  256  257  258  259  260  261  262  263  264  265  266  267  268  269  270  271  272  273  274  275  276  277  278  279  280  281 


Похожие статьи

В П Лавринчук - Вища математика загальний курс частина 2 математичний аналіз і диференціальні рівняння