В П Лавринчук - Вища математика загальний курс частина 2 математичний аналіз і диференціальні рівняння - страница 192

Страницы:
1  2  3  4  5  6  7  8  9  10  11  12  13  14  15  16  17  18  19  20  21  22  23  24  25  26  27  28  29  30  31  32  33  34  35  36  37  38  39  40  41  42  43  44  45  46  47  48  49  50  51  52  53  54  55  56  57  58  59  60  61  62  63  64  65  66  67  68  69  70  71  72  73  74  75  76  77  78  79  80  81  82  83  84  85  86  87  88  89  90  91  92  93  94  95  96  97  98  99  100  101  102  103  104  105  106  107  108  109  110  111  112  113  114  115  116  117  118  119  120  121  122  123  124  125  126  127  128  129  130  131  132  133  134  135  136  137  138  139  140  141  142  143  144  145  146  147  148  149  150  151  152  153  154  155  156  157  158  159  160  161  162  163  164  165  166  167  168  169  170  171  172  173  174  175  176  177  178  179  180  181  182  183  184  185  186  187  188  189  190  191  192  193  194  195  196  197  198  199  200  201  202  203  204  205  206  207  208  209  210  211  212  213  214  215  216  217  218  219  220  221  222  223  224  225  226  227  228  229  230  231  232  233  234  235  236  237  238  239  240  241  242  243  244  245  246  247  248  249  250  251  252  253  254  255  256  257  258  259  260  261  262  263  264  265  266  267  268  269  270  271  272  273  274  275  276  277  278  279  280  281 

n=l

Наслідок 3. Якщо lim (an+\ + an+2 + ... + a2n) = 0, то

n—oo

o

ряд'^^/ an розбїгається.

Приклад 3. Дослідити на збіжність ряд

,     1     1 1 2    3 n

який називається гармонічним.

А Маємо lim an = lim — = 0. Доведемо, що заданий ряд роз-

n>оо    n>оо n

бгається. Пєрєвіримо, чи виконується умова (6):

 

lim (S2n - Sn) = lim ( —+- + —+- + ... + 2- ] >

- ■—                  - ■— 1 n +1    n + 2 In)

 

> lim n— = lim 1 = 1 = 0.

n><оо    2n      n><оо 2 2

Отже, згідно з наслідком 3, ряд розбігається.Якщо загальний член ряду прямує до нуля, то ще не мож­на зробити висновок про з6іжність цього ряду. Про це свідчать приклад 3 i приклад 2, де \q\ < 1. Як i в прикладі 3, так i в прикладі 2, \q\ < 1, загальний член прямує до нуля, але у першому з них ряд розбігається, а в другому збігається. То­му необхідне додаткове дослідження, яке можна провести за допомогою певних достатніх умов (ознак) збіжності ряду.

Якщо ж для деякого ряду його загальний член не прямує до нуля, то згідно з наслідком 1 можна зразу сказати, що такий ряд розбігається.

 

3791.4. Ряди з невід'ємними членами. Розглянемо ряд

те

^^an, де an > 0, n Є N. Очевидно, що

n=1

Sn+i = Sn + an+i > Sn,n Є N,

тобто послідовність частинних сум даного ряду є неспадною. Оскільки необхідною й достатньою умовою з6іжності монотон­ної послідовності є її обмеженість, а саме обмеженість зверху неспадної послідовності, то звідси випливає необхідна і достат­ня умова збіжності ряду з невід'ємними членами.

те

Теорема 5. Для того щоб ряд^^ an з невід'ємними чле-

n=i

нами збігався, необхiдно й достатньо, щоб послідовність ча­стинних сум цього ряду була обмеженою.

Розглянемо декілька ознак, які дають достатні умови збіж­ності ряду.

Теорема 6 (перша ознака порівняння). Якщо є два ря­ди з невід'ємними членами:

ai + a2 + ... + an +                           (7)

bi + b2 + ... + bn +                           (8)

причому

an < bn,   n Є N,                            (9)

то із збіжності ряду (8) випливає збіжність ряду (7), аз розбіжності ряду (7) - розбіжність ряду (8).

Л Позначимо відповідно через Sn і Sn частинні суми рядів (7) і (8). Тоді з нерівності (9) випливає, що Sn < Sn, n Є N. Якщо ряд (8) збігається, то згідно з теоремою 5 послідовність його частинних сум {Sn,n Є N} обмежена зверху, тобто Sn < M, n Є N, а тоді й Sn < Sn < M. Звідси випливає, що ряд (7) збігається. Якщо ж ряд (7) розбігається, то послідовність {Sn,n Є N} необмежена зверху, тоді й послідовність {Sn,n Є N} є необмеженою зверху, а тому ряд (8) розбігається.

Теорема 6 залишається правильною, якщо нерівність (9) за­мінити нерівністю an < cbn, c - стала, c > 0.

Страницы:
1  2  3  4  5  6  7  8  9  10  11  12  13  14  15  16  17  18  19  20  21  22  23  24  25  26  27  28  29  30  31  32  33  34  35  36  37  38  39  40  41  42  43  44  45  46  47  48  49  50  51  52  53  54  55  56  57  58  59  60  61  62  63  64  65  66  67  68  69  70  71  72  73  74  75  76  77  78  79  80  81  82  83  84  85  86  87  88  89  90  91  92  93  94  95  96  97  98  99  100  101  102  103  104  105  106  107  108  109  110  111  112  113  114  115  116  117  118  119  120  121  122  123  124  125  126  127  128  129  130  131  132  133  134  135  136  137  138  139  140  141  142  143  144  145  146  147  148  149  150  151  152  153  154  155  156  157  158  159  160  161  162  163  164  165  166  167  168  169  170  171  172  173  174  175  176  177  178  179  180  181  182  183  184  185  186  187  188  189  190  191  192  193  194  195  196  197  198  199  200  201  202  203  204  205  206  207  208  209  210  211  212  213  214  215  216  217  218  219  220  221  222  223  224  225  226  227  228  229  230  231  232  233  234  235  236  237  238  239  240  241  242  243  244  245  246  247  248  249  250  251  252  253  254  255  256  257  258  259  260  261  262  263  264  265  266  267  268  269  270  271  272  273  274  275  276  277  278  279  280  281 


Похожие статьи

В П Лавринчук - Вища математика загальний курс частина 2 математичний аналіз і диференціальні рівняння