В П Лавринчук - Вища математика загальний курс частина 2 математичний аналіз і диференціальні рівняння - страница 197

Страницы:
1  2  3  4  5  6  7  8  9  10  11  12  13  14  15  16  17  18  19  20  21  22  23  24  25  26  27  28  29  30  31  32  33  34  35  36  37  38  39  40  41  42  43  44  45  46  47  48  49  50  51  52  53  54  55  56  57  58  59  60  61  62  63  64  65  66  67  68  69  70  71  72  73  74  75  76  77  78  79  80  81  82  83  84  85  86  87  88  89  90  91  92  93  94  95  96  97  98  99  100  101  102  103  104  105  106  107  108  109  110  111  112  113  114  115  116  117  118  119  120  121  122  123  124  125  126  127  128  129  130  131  132  133  134  135  136  137  138  139  140  141  142  143  144  145  146  147  148  149  150  151  152  153  154  155  156  157  158  159  160  161  162  163  164  165  166  167  168  169  170  171  172  173  174  175  176  177  178  179  180  181  182  183  184  185  186  187  188  189  190  191  192  193  194  195  196  197  198  199  200  201  202  203  204  205  206  207  208  209  210  211  212  213  214  215  216  217  218  219  220  221  222  223  224  225  226  227  228  229  230  231  232  233  234  235  236  237  238  239  240  241  242  243  244  245  246  247  248  249  250  251  252  253  254  255  256  257  258  259  260  261  262  263  264  265  266  267  268  269  270  271  272  273  274  275  276  277  278  279  280  281 

А Перевіримо виконання умов ознаки Лейбніца:

:) pn = "7ПТ2 > (ГТйГ = pn+l, й Є N; й(й + 1)2     + 1)(й + 2)2

2) lim pn = lim ———2 = 0.

n  >oo     n  >oo й(й + 1)2

Отже, ряд збігається.

Тепер розглянемо довільний ряд

o

ai + а2 + ... + an + ■ ■ ■ = ^ an, (14)

n=i

де числа ai, a2, ..an, ... можуть бути як додатними, так і від'ємними, причому розміщення додатних і від'ємних членів у ряді довільне.

Поряд з рядом (14) розглядатимемо ряд, складений з абсо­лютних величин членів цього ряду:

o

I ai І + 2І + .+ \an\ + .= ^ \an\. (15)

n=i

Якщо ряд (15) збігається, то ряд (14) називається абсолют­но з6іжним. Доведемо, що із збіжності ряду (15) випливає збіжність ряду (14).

Справді, запишемо an у вигляді an = bn - cn, де bn =

an + \an\                \an\         an       T\J      ҐЛ 7/11

---- 2--- , Cn = ------ 2--- , й Є N. Очевидно, що bn < \an\,

cn < \ an\ , й Є N, а тому, згідно з першою ознакою порівнян-

o            o o

ня ряди       bn і       cn збігаються, бо збігається ряд       \ an\ .

n=i        n=i n=i

 

 

38Тоді ряд      ап = У^ Ьп       сп є також збіжним, як різниця

п=1        п=1 п=1

збіжних рядів.

Якщо ж ряд (14) збігається, а ряд (15) розбігається, то ряд (14) називають умовно збіжним.

Приклад 13. Дослідити на збіжність ряд

.111111 22 32 + 42 + 52 6 72 + ....

А Розглянемо ряд, складений з абсолютних величин

1     1      1      1      1      1 1

1+22 + 32 + 42 + 52 + 62 + 72 + " ' '

Цей ряд є з6іжним, як доведено в прикладi 4. Звідси випливає, що заданий ряд збігається абсолютно.

Приклад 14. Дослідити на збіжність ряд

J_    _1____ 1_

-2   -3   V4   "''

А Ряд з абсолютних величин

1    1    1 1

л/2      лД      лД лД

розбігається, як доведено в прикладі 5. У той же час вихідний ряд збігається, бо виконуються умови теореми 10. Це означає, що ряд збігається умовно.

1.6. Властивості сум збіжних числових рядів. З

попереднього випливає, що поняття суми нескінченного ряду чисел істотно відрізняється від поняття суми скінченного числа доданків, бо воно використовує граничний перехід. У той же час деякі властивості звичайних сум переносяться й на випадок сум рядів, але, як правило, при виконанні певних додаткових умов. У цьому пункті розглянемо ці умови, причому детально розглянемо випадки, коли властивості сум скінченної кількості доданків і сум числових рядів відрізняються істотно.

Розглянемо сполучну властивість суми. Нехай задано числовий ряд (1). Згрупуємо довільним чином в дужки члени

 

389цього ряду без зміни порядку їхнього слідування. Тоді одержи­мо новий ряд

 

і + а2 + ... + ат) + (ащ + ат+2 + ... + ап2) + ... +

 

+ (ап£_1+1 + апк-г+2 + ... + апк) + .... (16)

Страницы:
1  2  3  4  5  6  7  8  9  10  11  12  13  14  15  16  17  18  19  20  21  22  23  24  25  26  27  28  29  30  31  32  33  34  35  36  37  38  39  40  41  42  43  44  45  46  47  48  49  50  51  52  53  54  55  56  57  58  59  60  61  62  63  64  65  66  67  68  69  70  71  72  73  74  75  76  77  78  79  80  81  82  83  84  85  86  87  88  89  90  91  92  93  94  95  96  97  98  99  100  101  102  103  104  105  106  107  108  109  110  111  112  113  114  115  116  117  118  119  120  121  122  123  124  125  126  127  128  129  130  131  132  133  134  135  136  137  138  139  140  141  142  143  144  145  146  147  148  149  150  151  152  153  154  155  156  157  158  159  160  161  162  163  164  165  166  167  168  169  170  171  172  173  174  175  176  177  178  179  180  181  182  183  184  185  186  187  188  189  190  191  192  193  194  195  196  197  198  199  200  201  202  203  204  205  206  207  208  209  210  211  212  213  214  215  216  217  218  219  220  221  222  223  224  225  226  227  228  229  230  231  232  233  234  235  236  237  238  239  240  241  242  243  244  245  246  247  248  249  250  251  252  253  254  255  256  257  258  259  260  261  262  263  264  265  266  267  268  269  270  271  272  273  274  275  276  277  278  279  280  281 


Похожие статьи

В П Лавринчук - Вища математика загальний курс частина 2 математичний аналіз і диференціальні рівняння