В П Лавринчук - Вища математика загальний курс частина 2 математичний аналіз і диференціальні рівняння - страница 198

Страницы:
1  2  3  4  5  6  7  8  9  10  11  12  13  14  15  16  17  18  19  20  21  22  23  24  25  26  27  28  29  30  31  32  33  34  35  36  37  38  39  40  41  42  43  44  45  46  47  48  49  50  51  52  53  54  55  56  57  58  59  60  61  62  63  64  65  66  67  68  69  70  71  72  73  74  75  76  77  78  79  80  81  82  83  84  85  86  87  88  89  90  91  92  93  94  95  96  97  98  99  100  101  102  103  104  105  106  107  108  109  110  111  112  113  114  115  116  117  118  119  120  121  122  123  124  125  126  127  128  129  130  131  132  133  134  135  136  137  138  139  140  141  142  143  144  145  146  147  148  149  150  151  152  153  154  155  156  157  158  159  160  161  162  163  164  165  166  167  168  169  170  171  172  173  174  175  176  177  178  179  180  181  182  183  184  185  186  187  188  189  190  191  192  193  194  195  196  197  198  199  200  201  202  203  204  205  206  207  208  209  210  211  212  213  214  215  216  217  218  219  220  221  222  223  224  225  226  227  228  229  230  231  232  233  234  235  236  237  238  239  240  241  242  243  244  245  246  247  248  249  250  251  252  253  254  255  256  257  258  259  260  261  262  263  264  265  266  267  268  269  270  271  272  273  274  275  276  277  278  279  280  281 

З'ясуємо, який зв'язок між збіжностями рядів (1) і (16) та їхніми сумами.

Теорема 11. Якщо ряд (1) збігається, то збігається й ряд (16), причому їхні суми однаковi, тобто для збiжного число­вого ряду має місцє сполучна властивють.

А Нехай {Бп,п Є N} - послідовність частинних сум ряду (1), а S - його сума. Тоді, згідно з означенням збіжності ряду, маємо, що lim Sn = S, тобто для довільного є > 0 існує но-

п—оо

мер по Є N такий, що для кожного номера п > по правильна нерівність

S\ <є. (17)

Розглянемо тепер послідовність {Sk, k Є N} частинних сум ряду (16). Тоді

Si = а і + а2 + ... + ап1 = Sm, S2 = і + а2 + ... + ап1) + (ап1 + ат+2 + ... + ап2) = ,

 

Sk =і + а2 + ... + ащ) + (ащ + ат+2 + ... + ап2) + ... +

+(апс + ^-1+2 + ... + апк) = S .

Отже, для будь-якого k Є N правильна рівність Sk = Snk. Зауважимо, що послідовність номерів {nkЄ N} задовольняє нерівності nk > k, k Є N. Тому для кожного k > по маємо, що nk > k > по, а тоді з нерівності (17) випливає, що

\Sk S\ = ^пк S\ <є,   k > по.

 

Це означає, що lim Sk = S, тобто ряд (16) є збіжним і його

k—oo

сумою є число S - сума ряду (1). ►

 

39З того, що збігається ряд (16) не випливає збіжність ряду (1). Це підтверджують приклади. Розглянемо ряд типу (16)

(1 + 1) +... + (1 1) +....

Цей ряд збігається і його сума дорівнює нулю. Однак, відпо­відний ряд типу (1)

1—1+1—1+...+1—1+... ,

як встановлено в прикладі 2 п.1.1, є розбіжним.

Доведено, що коли вирази в кожній дужці ряду (16) збері­гають знак, то із збіжності ряду (16) випливає збіжність ряду (1) і рівність їхніх сум.

Розглянемо переставну властивють ряду. Переставимо довільним чином члени ряду (1) і утворимо ряд

аі + а2 + ... + dk + (18)

де кожний член dk цього ряду збігається з деяким членом апк ряду (1), причому всі члени ряду (1) присутні в ряді (18). До­слідимо, як зв'язані між собою збіжності цих рядів та їхні суми.

Переконаємося, що коли ряд (1) з невід'ємними членами є збіжним, то ряд (18) також збіжний і їхні суми однакові. Справ­ді, нехай S сума ряду (1). Розглянемо послідовність {Sk,k Є N} частинних сум ряду (18). Очевидно, що

Sk = аі + а2 + ... + dk < S,   k Є N. (19)

Звідси випливає, що послідовність частинних сум {SSk, k Є N} ряду (18) з невід'ємними членами є обмеженою зверху числом S. Тоді згідно з теоремою 5 ряд (18) збігається, тобто існує скін­ченна границя lim SSk = SS, яка є сумою ряду (18). З нерівності

k—oo

(19) випливає, що S < S.3 іншого боку, можна вважати, що ряд (1) одержується з ряду (18) відповідною перестановкою його членів. Тому, міркуючи аналогічно попередньому, отри­маємо, що S < SS. Звідси дістаємо, що SS = S. Отже, для рядів з невід'ємними членами має місце переставна властивість.

 

39Якщо члени ряду (1) довільні за знаком, то можна довести загальніше твердження.

Страницы:
1  2  3  4  5  6  7  8  9  10  11  12  13  14  15  16  17  18  19  20  21  22  23  24  25  26  27  28  29  30  31  32  33  34  35  36  37  38  39  40  41  42  43  44  45  46  47  48  49  50  51  52  53  54  55  56  57  58  59  60  61  62  63  64  65  66  67  68  69  70  71  72  73  74  75  76  77  78  79  80  81  82  83  84  85  86  87  88  89  90  91  92  93  94  95  96  97  98  99  100  101  102  103  104  105  106  107  108  109  110  111  112  113  114  115  116  117  118  119  120  121  122  123  124  125  126  127  128  129  130  131  132  133  134  135  136  137  138  139  140  141  142  143  144  145  146  147  148  149  150  151  152  153  154  155  156  157  158  159  160  161  162  163  164  165  166  167  168  169  170  171  172  173  174  175  176  177  178  179  180  181  182  183  184  185  186  187  188  189  190  191  192  193  194  195  196  197  198  199  200  201  202  203  204  205  206  207  208  209  210  211  212  213  214  215  216  217  218  219  220  221  222  223  224  225  226  227  228  229  230  231  232  233  234  235  236  237  238  239  240  241  242  243  244  245  246  247  248  249  250  251  252  253  254  255  256  257  258  259  260  261  262  263  264  265  266  267  268  269  270  271  272  273  274  275  276  277  278  279  280  281 


Похожие статьи

В П Лавринчук - Вища математика загальний курс частина 2 математичний аналіз і диференціальні рівняння