В П Лавринчук - Вища математика загальний курс частина 2 математичний аналіз і диференціальні рівняння - страница 2

Страницы:
1  2  3  4  5  6  7  8  9  10  11  12  13  14  15  16  17  18  19  20  21  22  23  24  25  26  27  28  29  30  31  32  33  34  35  36  37  38  39  40  41  42  43  44  45  46  47  48  49  50  51  52  53  54  55  56  57  58  59  60  61  62  63  64  65  66  67  68  69  70  71  72  73  74  75  76  77  78  79  80  81  82  83  84  85  86  87  88  89  90  91  92  93  94  95  96  97  98  99  100  101  102  103  104  105  106  107  108  109  110  111  112  113  114  115  116  117  118  119  120  121  122  123  124  125  126  127  128  129  130  131  132  133  134  135  136  137  138  139  140  141  142  143  144  145  146  147  148  149  150  151  152  153  154  155  156  157  158  159  160  161  162  163  164  165  166  167  168  169  170  171  172  173  174  175  176  177  178  179  180  181  182  183  184  185  186  187  188  189  190  191  192  193  194  195  196  197  198  199  200  201  202  203  204  205  206  207  208  209  210  211  212  213  214  215  216  217  218  219  220  221  222  223  224  225  226  227  228  229  230  231  232  233  234  235  236  237  238  239  240  241  242  243  244  245  246  247  248  249  250  251  252  253  254  255  256  257  258  259  260  261  262  263  264  265  266  267  268  269  270  271  272  273  274  275  276  277  278  279  280  281 

Крім букви f для позначення функцій використовують й інші букви, наприклад, y = y(x), y = g(x), y = <p(x), y = F(x) і т.д. Іншими буквами можуть позначатися також залежна і незалежна змінні.

Дві функції f і g називатимемо рівними, якщо вони мають спільну область визначення X і f(x) = g(x), x Є X.

 

6Функція, усі значення якої однакові, називається сталою. Сталу функцію позначають символом y C, x Є R.

Функція y f (x), x Є X, називається обмеженою зверху (знизу) на множині X, якщо існує число M (m) таке, що для довільного x Є X виконується нерівність f (x) < M (f (x) > m). Якщо функція обмежена зверху і знизу на множині X, то вона називається обмеженою на цій множині. Умову обмеженості функції f можна сформулювати ще й так: існує число A > 0 таке, що для довільного x Є X виконується нерівність \ f (x)\ < A. Наприклад, функція f (x) cos x, x Є R, обмежена на R, бо \ cos x\ < 1, x Є R, а функція f (x) X не є обмеженою на інтервалі (0; 1), оскільки не існує числа M такого, щоб для довільного x Є (0; 1) виконувалася нерівність X < M.

Для наочного зображення поведінки функції, будують гра­фік, розглядаючи незалежну змінну x і функцію y як прямо­кутні координати деякої точки M на площині Oxy.

Графіком функції y f (x), x Є X, називається множина усіх точок M(x; y) площини Oxy, координати яких зв'язані да­ною функціональною залежністю, тобто множина точок вигля­ду Г/ — {(x; f (x)),x Є X}.

Графік функції може бути деякою суцільною лінією (кри­вою або прямою), а може складатися з окремих точок.

 

y

 

 

 

x

 

Зауважимо, що не всяка лінія є графіком деякої функції. Наприклад, коло x2 + y2 — 1 не є графіком функції, оскіль­ки кожне x Є (-1; 1) входить не в одну, а у дві пари чисел (x; y) цієї множини з різними значеннями y : yi у/1 x2 і У2 —л/1 x2, що суперечить вимозі однозначності в означен-

 

7ні функції.

У той же час частина кола, що лежить у нижній півпло-
щині, є графіком функції
yi у/1 x2, x Є        а друга

частина, що лежить у верхній півплощині,- графіком функції y у/1 x2, x Є [—1; 1].

Способи задання функції. Для того щоб задати функцію f, треба:

1)  встановити область D(f) визначення функції;

2)  описати закон відповідності, за яким для кожного x Є D(f) знаходитимемо число y.

Основні способи задання цього закону: аналиичний, гра­фічний, табличний і словесний.

При аналиичному способі задання функція визначається за допомогою аналітичного виразу, тобто за допомогою фор­мули, яка вказує, які треба операції здійснити над значеннями аргументу, щоб дістати відповідне значення функції.

Якщо функція y f (x), x Є X, задана формулою, то її ха­рактеристика f описує ту сукупність дій, яку треба в певному порядку виконати над значенням аргументу x, щоб одержати відповідне значення функції. Наприклад,

 

f(x) y/x2 1,  x Є (—оо; —1) U (1;+оо).

Тут f означає: і) піднесення до квадрата x; 2) віднімання від одержаного результату одиниці; 3) добування з одержаної різниці кубічного кореня.

При аналітичному способі задання функції, якщо область визначення не описана, вважають, що нею є множина всіх тих значень x, для яких написана формула має зміст. Цю область називають природною областю визначення. Наприклад, y у/1 x2 має областю визначення ті x, для яких 1 x2 > 0, тобто X — [—1; 1].

Треба пам'ятати, що не можна ототожнювати функцію і формулу, за допомогою якої задається ця функція. Наприклад: і) y x2, x Є (0;+о>); 2) y x2, x Є [—2;2]; 3) y x2, x Є R, це три різні функції, оскільки вони мають різні областівизначення, хоча задаються за допомогою однієї й тієї самої формули.

Можливий і такий випадок, коли функція на різних части­нах області визначення задається різними формулами.
Наприклад,
x, коли 0 < x < 1; x2, коли x > 1.значення

Страницы:
1  2  3  4  5  6  7  8  9  10  11  12  13  14  15  16  17  18  19  20  21  22  23  24  25  26  27  28  29  30  31  32  33  34  35  36  37  38  39  40  41  42  43  44  45  46  47  48  49  50  51  52  53  54  55  56  57  58  59  60  61  62  63  64  65  66  67  68  69  70  71  72  73  74  75  76  77  78  79  80  81  82  83  84  85  86  87  88  89  90  91  92  93  94  95  96  97  98  99  100  101  102  103  104  105  106  107  108  109  110  111  112  113  114  115  116  117  118  119  120  121  122  123  124  125  126  127  128  129  130  131  132  133  134  135  136  137  138  139  140  141  142  143  144  145  146  147  148  149  150  151  152  153  154  155  156  157  158  159  160  161  162  163  164  165  166  167  168  169  170  171  172  173  174  175  176  177  178  179  180  181  182  183  184  185  186  187  188  189  190  191  192  193  194  195  196  197  198  199  200  201  202  203  204  205  206  207  208  209  210  211  212  213  214  215  216  217  218  219  220  221  222  223  224  225  226  227  228  229  230  231  232  233  234  235  236  237  238  239  240  241  242  243  244  245  246  247  248  249  250  251  252  253  254  255  256  257  258  259  260  261  262  263  264  265  266  267  268  269  270  271  272  273  274  275  276  277  278  279  280  281 


Похожие статьи

В П Лавринчук - Вища математика загальний курс частина 2 математичний аналіз і диференціальні рівняння