В П Лавринчук - Вища математика загальний курс частина 2 математичний аналіз і диференціальні рівняння - страница 201

Страницы:
1  2  3  4  5  6  7  8  9  10  11  12  13  14  15  16  17  18  19  20  21  22  23  24  25  26  27  28  29  30  31  32  33  34  35  36  37  38  39  40  41  42  43  44  45  46  47  48  49  50  51  52  53  54  55  56  57  58  59  60  61  62  63  64  65  66  67  68  69  70  71  72  73  74  75  76  77  78  79  80  81  82  83  84  85  86  87  88  89  90  91  92  93  94  95  96  97  98  99  100  101  102  103  104  105  106  107  108  109  110  111  112  113  114  115  116  117  118  119  120  121  122  123  124  125  126  127  128  129  130  131  132  133  134  135  136  137  138  139  140  141  142  143  144  145  146  147  148  149  150  151  152  153  154  155  156  157  158  159  160  161  162  163  164  165  166  167  168  169  170  171  172  173  174  175  176  177  178  179  180  181  182  183  184  185  186  187  188  189  190  191  192  193  194  195  196  197  198  199  200  201  202  203  204  205  206  207  208  209  210  211  212  213  214  215  216  217  218  219  220  221  222  223  224  225  226  227  228  229  230  231  232  233  234  235  236  237  238  239  240  241  242  243  244  245  246  247  248  249  250  251  252  253  254  255  256  257  258  259  260  261  262  263  264  265  266  267  268  269  270  271  272  273  274  275  276  277  278  279  280  281 

xeD

номірної збіжності ряду (1) можна сформулювати і по-іншому: ряд (1) називається рівномірно збіжним на множині D,

якщо lim sup | Sn(x) S(x)| = 0.

n—o° xeD

Розглянемо різницю

оо

S(x)  Sn(x) =  Е Uk(x) = Tn(x),   x Є D,n Є N,

k=n+1

яка називається залишком ряду (1). Якщо скористатися цим поняттям, то означення рівномірної збіжності ряду (1) можна подати у такій формі: ряд (1) називається рiвномiрно з6іж^м на множині D, якщо lim sup |rn(x)| = 0.

n—o° xeD

Користуватися означенням при дослідженні функціональ­ного ряду на рівномірну збіжність не завжди легко, а тому наведемо найуживанішу достатню ознаку рівномірної збіжно­сті.

 

395Теорема 1 (ознака Вейєрштрасса). Якщо на множині D члени функціонального ряду (1) за модулем не перевищу-

o

ють відповідних членів збіжного числового ряду'^^ an, тобто

n=i

|un(x)| < an, n Є N, x Є D, то ряд (1) збігається рівномірно на D.

Л З нерівностей |Un(x)| < an, n Є N, x Є D, і теореми 6, §1, одержуємо, що ряд (1) є абсолютно збіжним на множині D. Оцінимо залишок rn(x) ряду (1):

 

^n(x) = І Е Uk(x) <  Е U(x)| <  Е ak

k=n+1           k=n+1 k=n+1

 

n Є N, x Є D, де гП - залишок числового ряду      an. Звідси

n=1

отримуємо, що sup |rn(x)| < гП, n Є N. Оскільки, як випливає

xeD

з наслідку 1, §1,  lim rn = 0, то і lim sup |rn(x)| = 0, а це

n—o                        n—o xeD

означає, що ряд (1) збігається рівномірно на D.

Приклад 1. Дослідити на поточкову та рівномірну збіжність функціональний ряд

Е

°° / xn      xn+1 \ In      n + 1/

n=1

Л Розглянемо послідовність {Sn (x), n Є N} частинних сум зада­ного ряду:

2      Z J       '    \n     n+L

xn+1

Sn(x) = (1 у)

xn+1

x є R 'Тоді границя

xn+1

' = x

lim Sn(x) = lim \x---------- )

n+1

є скінченною лише для x Є [—1; 1]. Тому заданий ряд є поточково збіжним на проміжку D = [—1; 1] і його сума S(x) x, x D.

 

396Поза відрізком [—1; 1] рівномірної збіжності не може бути, бо з рівномірної збіжності випливає поточкова. Отже, треба дослідити ряд на рівномірну збіжність на проміжку D = [ 1; 1]. Оскількиsup \Sn(x) S(x)\ = sup

xeD xeD


xn+1

n + 1


1

.+1'

lim sup \Sn(x) S(x)\

n° xeD


1

lim

n^oo n +1


0.Тому заданий ряд є рівномірно збіжним на відрізку D = Приклад 2. Дослідити на поточкову та рівномірну збіжність

Страницы:
1  2  3  4  5  6  7  8  9  10  11  12  13  14  15  16  17  18  19  20  21  22  23  24  25  26  27  28  29  30  31  32  33  34  35  36  37  38  39  40  41  42  43  44  45  46  47  48  49  50  51  52  53  54  55  56  57  58  59  60  61  62  63  64  65  66  67  68  69  70  71  72  73  74  75  76  77  78  79  80  81  82  83  84  85  86  87  88  89  90  91  92  93  94  95  96  97  98  99  100  101  102  103  104  105  106  107  108  109  110  111  112  113  114  115  116  117  118  119  120  121  122  123  124  125  126  127  128  129  130  131  132  133  134  135  136  137  138  139  140  141  142  143  144  145  146  147  148  149  150  151  152  153  154  155  156  157  158  159  160  161  162  163  164  165  166  167  168  169  170  171  172  173  174  175  176  177  178  179  180  181  182  183  184  185  186  187  188  189  190  191  192  193  194  195  196  197  198  199  200  201  202  203  204  205  206  207  208  209  210  211  212  213  214  215  216  217  218  219  220  221  222  223  224  225  226  227  228  229  230  231  232  233  234  235  236  237  238  239  240  241  242  243  244  245  246  247  248  249  250  251  252  253  254  255  256  257  258  259  260  261  262  263  264  265  266  267  268  269  270  271  272  273  274  275  276  277  278  279  280  281 


Похожие статьи

В П Лавринчук - Вища математика загальний курс частина 2 математичний аналіз і диференціальні рівняння