В П Лавринчук - Вища математика загальний курс частина 2 математичний аналіз і диференціальні рівняння - страница 202

Страницы:
1  2  3  4  5  6  7  8  9  10  11  12  13  14  15  16  17  18  19  20  21  22  23  24  25  26  27  28  29  30  31  32  33  34  35  36  37  38  39  40  41  42  43  44  45  46  47  48  49  50  51  52  53  54  55  56  57  58  59  60  61  62  63  64  65  66  67  68  69  70  71  72  73  74  75  76  77  78  79  80  81  82  83  84  85  86  87  88  89  90  91  92  93  94  95  96  97  98  99  100  101  102  103  104  105  106  107  108  109  110  111  112  113  114  115  116  117  118  119  120  121  122  123  124  125  126  127  128  129  130  131  132  133  134  135  136  137  138  139  140  141  142  143  144  145  146  147  148  149  150  151  152  153  154  155  156  157  158  159  160  161  162  163  164  165  166  167  168  169  170  171  172  173  174  175  176  177  178  179  180  181  182  183  184  185  186  187  188  189  190  191  192  193  194  195  196  197  198  199  200  201  202  203  204  205  206  207  208  209  210  211  212  213  214  215  216  217  218  219  220  221  222  223  224  225  226  227  228  229  230  231  232  233  234  235  236  237  238  239  240  241  242  243  244  245  246  247  248  249  250  251  252  253  254  255  256  257  258  259  260  261  262  263  264  265  266  267  268  269  270  271  272  273  274  275  276  277  278  279  280  281 

оо

функціональний ряд ^""^ xn.

n=0

< Заданий ряд є геометричним. Він, як відомо (приклад 2, §1,

п.1.1), є збіжним лише для x Є ( 1; 1) і його сума S(x) =        для

1—x

цих значень аргументу. Отже, областю поточкової збіжності ряду є проміжок D = (—1; 1).

Переконаємося, що на множині D = ( 1; 1) ряд не збігається рівномірно. Оскільки частинна сума Sn(x) = 1+ x + x2 + ... + xn-1 =

1 xn

—--- , то маємо

1sup \ Sn(x) S(x)\ = sup

xeD xeD


1

1 xn

x


1


1


sup

xeD 1


\ x\ n


Ж'n Є N. Звідси випливає, що границя lim sup \Sn(x) S(x)\ = оо,

xeD

тобто не дорівнює нулю, а це означає, що ряд не збігається рівно­мірно на множині D = ( 1; 1). У той же час на кожному відрізку [—а; а] С ( 1; 1), де 0 < a < 1, цей ряд є рівномірно збіжним. Справ-

ді,

 

тому


sup   \ Sn(x) S(x)\ = sup

xe[—a;a] xe[—a;a]

 

lim    sup   \ Sn(x) S(x)\

xe_[-a;a]


1—a

 

=а це означає, що ряд збігається рівномірно на відрізку [—a; a] С

 

 

 

397Рівномірно збіжні функцональні ряди мають властивості аналогічні властивостям скінченних сум функцій:

1) якщо члени un(x), n Є N, рівномірно збіжного ряду (1) неперервні на множит D, то i його сума S(x) так само непе­рервна на D;

2) якщо члени рiвномiрно збiжного на множит D функціо­нального ряду (1) неперервні на цій множит, то ряд можна почленно інтегрувати, тобто для довільного вiдрiзка [a; b] С

b                  ^ b

/

оо ~ S(x)dx = E / un (x)dx;

a                  n=1 a

3) якщо члени збiжного ряду (1) непрерервно диференцій-

оо

овні на проміжку D, а ряд~^^ u'n(x) рiвномiрно збігається на

цьому проміжку, то і сума S(x) ряду (1) е диференційовною функцією і правильна рівність

о

S'(x) = Е u'n(x),   x Є D,

тобто рівномірний збіжний ряд (1) можна почленно диферен­ціювати на множині D.

Треба зауважити, що для поточково збіжних функціональ­них рядів властивості 1) - 3), взагалі кажучи, не мають місця.

Приклад 3. Довести, що функціональний ряд

cos x    cos 2x         cos nx

1 + + +     + +

збігається рівномірно на R. Очевидно, що

. ч|     І cos nx І      1 m

\Un(x)\ = І  :—І < ,     П Є N,x Є R.

I   n!   I n!

Страницы:
1  2  3  4  5  6  7  8  9  10  11  12  13  14  15  16  17  18  19  20  21  22  23  24  25  26  27  28  29  30  31  32  33  34  35  36  37  38  39  40  41  42  43  44  45  46  47  48  49  50  51  52  53  54  55  56  57  58  59  60  61  62  63  64  65  66  67  68  69  70  71  72  73  74  75  76  77  78  79  80  81  82  83  84  85  86  87  88  89  90  91  92  93  94  95  96  97  98  99  100  101  102  103  104  105  106  107  108  109  110  111  112  113  114  115  116  117  118  119  120  121  122  123  124  125  126  127  128  129  130  131  132  133  134  135  136  137  138  139  140  141  142  143  144  145  146  147  148  149  150  151  152  153  154  155  156  157  158  159  160  161  162  163  164  165  166  167  168  169  170  171  172  173  174  175  176  177  178  179  180  181  182  183  184  185  186  187  188  189  190  191  192  193  194  195  196  197  198  199  200  201  202  203  204  205  206  207  208  209  210  211  212  213  214  215  216  217  218  219  220  221  222  223  224  225  226  227  228  229  230  231  232  233  234  235  236  237  238  239  240  241  242  243  244  245  246  247  248  249  250  251  252  253  254  255  256  257  258  259  260  261  262  263  264  265  266  267  268  269  270  271  272  273  274  275  276  277  278  279  280  281 


Похожие статьи

В П Лавринчук - Вища математика загальний курс частина 2 математичний аналіз і диференціальні рівняння