В П Лавринчук - Вища математика загальний курс частина 2 математичний аналіз і диференціальні рівняння - страница 206

Страницы:
1  2  3  4  5  6  7  8  9  10  11  12  13  14  15  16  17  18  19  20  21  22  23  24  25  26  27  28  29  30  31  32  33  34  35  36  37  38  39  40  41  42  43  44  45  46  47  48  49  50  51  52  53  54  55  56  57  58  59  60  61  62  63  64  65  66  67  68  69  70  71  72  73  74  75  76  77  78  79  80  81  82  83  84  85  86  87  88  89  90  91  92  93  94  95  96  97  98  99  100  101  102  103  104  105  106  107  108  109  110  111  112  113  114  115  116  117  118  119  120  121  122  123  124  125  126  127  128  129  130  131  132  133  134  135  136  137  138  139  140  141  142  143  144  145  146  147  148  149  150  151  152  153  154  155  156  157  158  159  160  161  162  163  164  165  166  167  168  169  170  171  172  173  174  175  176  177  178  179  180  181  182  183  184  185  186  187  188  189  190  191  192  193  194  195  196  197  198  199  200  201  202  203  204  205  206  207  208  209  210  211  212  213  214  215  216  217  218  219  220  221  222  223  224  225  226  227  228  229  230  231  232  233  234  235  236  237  238  239  240  241  242  243  244  245  246  247  248  249  250  251  252  253  254  255  256  257  258  259  260  261  262  263  264  265  266  267  268  269  270  271  272  273  274  275  276  277  278  279  280  281 

(n +1)!

= lim (n +1) = oo,

n—o

то ряд збігається на всій числовій осі (—о; +оо).

2.2.2. Властивості степеневих рядів. Розглянемо ряд (3), що збігається на інтервалі (—R; R), де R > 0 - його радіус збіжності. Тоді кожному xo Є (—R; R) відповідає сума f (xo) числового ряду

Co + Cixo + C2xo + ■■■ + Cnxn +         

Звідси випливає, що сума степеневого ряду є функцією x на проміжку (—R; R):

f(x) = Co + cix + C2x2 + ... + Cnxn + ... ■ (5)

 

40У цьому випадку кажуть, що степеневий ряд збігається до f (x) на проміжку (—R; R) або, що функція f (x) розкладається в степеневий ряд на (—R; R).

Доведено [8], що сума f степеневого ряду (3) є неперервною і диференційовною функцією на всьому інтервалі збіжності.

Наведемо без доведення деякі теореми про властивості сте­пеневих рядів.

Теорема 3 (про почленне диференціювання степе­невого ряду). Нехай функція f розкладається на інтервалі (—R; R) в степеневий ряд (5). Розглянемо степеневий ряд

ci +2c2x + ... + ncnxn-i + (6)

одержаний почленним диференціюванням ряду (5). Тоді:

1) ряд (6) має той самий радіус збіжності R, що й ряд (5);

2) сума ряду (6) дорівнює f (x), x Є (R; R). Застосовуючи теорему 2 повторно, дістанемо, що друга

похідна f "(x) також існує і дорівнює сумі ряду, одержаного двократним диференціюванням ряду (5). Аналогічні висновки можна зробити для третьої похідної і т.д.

Отже, функція f (x), яка розкладається в степеневий ряд (5) на інтервалі (—R; R), нескінченно диференційовна на цьому інтервалі. Розклад в степеневий ряд будь-якої похідної одер­жується почленним диференціюванням ряду (5). При цьому радіуси збіжності відповідних рядів дорівнюють радіусу збіж­ності ряду (5).

Теорема 4 (про почленне інтегрування степеневого ряду). Якщо функція f(x) розкладається в степеневий ряд на інтервалі (—R; R), то вона інтегровна на цьому інтервалі. При цьому інтеграл від суми ряду дорївнює сумі інтегралів від членів ряду, тобто степеневий ряд можна почленно інтегру­вати на інтервалі збіжності.

Іншими словами, якщо [xi; x2] С (R; R), то

J f (x)dx = J(co + cix + c2x2 + ... + cnxn + .. .)dx =

xi x\Х2   Х2             Х2 Х2

= j codx + J c\xdx + J c2x2dx + ... + J cnxndx + ... .

Х1           Х1              Х1 Х1

Важливим випадком є інтегрування степеневого ряду по відрізку [0; x], де \x\ < R:

1 ),,               . cxx2    c2xA cnxn+1

 

0

Цей ряд має той самий радiус з6іжності, що й ряд (5). Зауважимо, що часто розглядають степеневий ряд загаль­ного вигляду

co + ci(x - xo) + c2(x - xo)2 + ... + cn(x - xo)n + ... = oo

Страницы:
1  2  3  4  5  6  7  8  9  10  11  12  13  14  15  16  17  18  19  20  21  22  23  24  25  26  27  28  29  30  31  32  33  34  35  36  37  38  39  40  41  42  43  44  45  46  47  48  49  50  51  52  53  54  55  56  57  58  59  60  61  62  63  64  65  66  67  68  69  70  71  72  73  74  75  76  77  78  79  80  81  82  83  84  85  86  87  88  89  90  91  92  93  94  95  96  97  98  99  100  101  102  103  104  105  106  107  108  109  110  111  112  113  114  115  116  117  118  119  120  121  122  123  124  125  126  127  128  129  130  131  132  133  134  135  136  137  138  139  140  141  142  143  144  145  146  147  148  149  150  151  152  153  154  155  156  157  158  159  160  161  162  163  164  165  166  167  168  169  170  171  172  173  174  175  176  177  178  179  180  181  182  183  184  185  186  187  188  189  190  191  192  193  194  195  196  197  198  199  200  201  202  203  204  205  206  207  208  209  210  211  212  213  214  215  216  217  218  219  220  221  222  223  224  225  226  227  228  229  230  231  232  233  234  235  236  237  238  239  240  241  242  243  244  245  246  247  248  249  250  251  252  253  254  255  256  257  258  259  260  261  262  263  264  265  266  267  268  269  270  271  272  273  274  275  276  277  278  279  280  281 


Похожие статьи

В П Лавринчук - Вища математика загальний курс частина 2 математичний аналіз і диференціальні рівняння