В П Лавринчук - Вища математика загальний курс частина 2 математичний аналіз і диференціальні рівняння - страница 207

Страницы:
1  2  3  4  5  6  7  8  9  10  11  12  13  14  15  16  17  18  19  20  21  22  23  24  25  26  27  28  29  30  31  32  33  34  35  36  37  38  39  40  41  42  43  44  45  46  47  48  49  50  51  52  53  54  55  56  57  58  59  60  61  62  63  64  65  66  67  68  69  70  71  72  73  74  75  76  77  78  79  80  81  82  83  84  85  86  87  88  89  90  91  92  93  94  95  96  97  98  99  100  101  102  103  104  105  106  107  108  109  110  111  112  113  114  115  116  117  118  119  120  121  122  123  124  125  126  127  128  129  130  131  132  133  134  135  136  137  138  139  140  141  142  143  144  145  146  147  148  149  150  151  152  153  154  155  156  157  158  159  160  161  162  163  164  165  166  167  168  169  170  171  172  173  174  175  176  177  178  179  180  181  182  183  184  185  186  187  188  189  190  191  192  193  194  195  196  197  198  199  200  201  202  203  204  205  206  207  208  209  210  211  212  213  214  215  216  217  218  219  220  221  222  223  224  225  226  227  228  229  230  231  232  233  234  235  236  237  238  239  240  241  242  243  244  245  246  247  248  249  250  251  252  253  254  255  256  257  258  259  260  261  262  263  264  265  266  267  268  269  270  271  272  273  274  275  276  277  278  279  280  281 

= £ cn(x - xo)n, (7)

n=0

який заміною x - xo = y зводиться до ряду (3).

Якщо функція f є сумою ряду (7), то кажуть, що вона роз­кладається в ряд за степенями (x - xo).

Усі властивості ряду (7) і його суми, аналогічні тим, що правильні для ряду (5) і його суми.

2.3. Розклад функції в степеневий ряд. Для засто­сування важливим є вміння розкладати функцію f в степене­вий ряд на деякому відрізку [-r; r] або інтервалі (-r; r), r > 0.

При цьому треба дати відповідь на такі два запитання:

1) чи можна задану функцію подати на цьому відрізку або інтервалі у вигляді суми деякого степеневого ряду?

2) якщо так, то як знайти цей ряд?

Спочатку дамо відповідь на друге запитання. Припустимо, що функція f на деякому відрізку [-r; r] розкладена в степе­невий ряд

f(x) = co + cix + c2x2 +    . + cnxn + ... . (8) Знайдемо коефіцієнти co, ci, ..cn, ... цього ряду.

406З попереднього пункту відомо, що степеневий ряд (8) мож­на почленно диференціювати довільну кількість разів на інтер­валі (-r; r). Тому для будь-якого x Є (-r; r) маємо

f'(x) = c1 + 2c2x + 3c3x2 + 4c4x3 + ...,

f" (x) = 2 1 c2 + 3 2 c3x + 4 3 c^x2 + f(3)(x) =3 2 1 c3 + 4 3 2 cAx +

 

 

f (n)(x) = n (n - 1) ... 3 2 1 cn +            n Є N.

Покладаючи в цих рівностях, а також в розкладі (8) x = 0, дістанемо f (0) = co, f'(0) = ci, f''(0) =*2, f (3)(0) = 34Л^з, ..f (n\0) = n(n - 1) ... 3 2 1 cn. Звідси одержуємо формулу

f(n)(0)

n!

Підставивши знайдені коефіцієнти в (8), матимемо

f (x) = f (0) + Л x +        x2 +... +    xn + ...,x Є (-r; r)

(9)

Рівність (9) називається рядом Маклорена або рядом Тейлора з центром в точці 0 для функції f.

Отже, якщо функція f розкладається в степеневий ряд у деякому околі точки x = 0, то цей ряд є рядом Маклорена.

Нехай f - довільна нескінченно диференційовна функція. Для неї можна скласти ряд Маклорена

f'(0)    f''(0) 2        f(n)(0) n f(0) + L1^x +J-4^x2 +... + J-nrxn +... . (10)

З'ясуємо, за яких умов сума цього ряду збігається з функ­цією f. Для цього розглянемо формулу Маклорена для функції

f(x):

f (x) = f (0) + в x +        x2 + ... + Ї xn + Rn+i(x),

 

407де залишковий член

 

Rn+1(x) = -,----- Vr xn+1,    0 <c<x або - x <c < 0.

+iV 7     (n + 1)!

Якщо позначити через Sn (x) частинну суму ряду Маклоре­на (10), то формулу Маклорена можна подати у вигляді

 

f (x) = Sn(x) + Rn+i(x).

Звідси випливає, що рівність (9) правильна тоді й тільки тоді, коли lim Sn(x) = f (x), тобто lim Rn+1(x) = lim (f (x)

n—>oo                             n—>oo n—>oo

Sn(x)) = 0, x є (—r; r).

У багатьох випадках зручно користуватися теоремою, яка дає достатні умови розкладу функцій в ряд Маклорена.

Теорема 5. Нехай функція f визначена i нескінченно ди­ференційовна на iнтервалi (—r; r). Якщо існує стала M така, що

Страницы:
1  2  3  4  5  6  7  8  9  10  11  12  13  14  15  16  17  18  19  20  21  22  23  24  25  26  27  28  29  30  31  32  33  34  35  36  37  38  39  40  41  42  43  44  45  46  47  48  49  50  51  52  53  54  55  56  57  58  59  60  61  62  63  64  65  66  67  68  69  70  71  72  73  74  75  76  77  78  79  80  81  82  83  84  85  86  87  88  89  90  91  92  93  94  95  96  97  98  99  100  101  102  103  104  105  106  107  108  109  110  111  112  113  114  115  116  117  118  119  120  121  122  123  124  125  126  127  128  129  130  131  132  133  134  135  136  137  138  139  140  141  142  143  144  145  146  147  148  149  150  151  152  153  154  155  156  157  158  159  160  161  162  163  164  165  166  167  168  169  170  171  172  173  174  175  176  177  178  179  180  181  182  183  184  185  186  187  188  189  190  191  192  193  194  195  196  197  198  199  200  201  202  203  204  205  206  207  208  209  210  211  212  213  214  215  216  217  218  219  220  221  222  223  224  225  226  227  228  229  230  231  232  233  234  235  236  237  238  239  240  241  242  243  244  245  246  247  248  249  250  251  252  253  254  255  256  257  258  259  260  261  262  263  264  265  266  267  268  269  270  271  272  273  274  275  276  277  278  279  280  281 


Похожие статьи

В П Лавринчук - Вища математика загальний курс частина 2 математичний аналіз і диференціальні рівняння