В П Лавринчук - Вища математика загальний курс частина 2 математичний аналіз і диференціальні рівняння - страница 213

Страницы:
1  2  3  4  5  6  7  8  9  10  11  12  13  14  15  16  17  18  19  20  21  22  23  24  25  26  27  28  29  30  31  32  33  34  35  36  37  38  39  40  41  42  43  44  45  46  47  48  49  50  51  52  53  54  55  56  57  58  59  60  61  62  63  64  65  66  67  68  69  70  71  72  73  74  75  76  77  78  79  80  81  82  83  84  85  86  87  88  89  90  91  92  93  94  95  96  97  98  99  100  101  102  103  104  105  106  107  108  109  110  111  112  113  114  115  116  117  118  119  120  121  122  123  124  125  126  127  128  129  130  131  132  133  134  135  136  137  138  139  140  141  142  143  144  145  146  147  148  149  150  151  152  153  154  155  156  157  158  159  160  161  162  163  164  165  166  167  168  169  170  171  172  173  174  175  176  177  178  179  180  181  182  183  184  185  186  187  188  189  190  191  192  193  194  195  196  197  198  199  200  201  202  203  204  205  206  207  208  209  210  211  212  213  214  215  216  217  218  219  220  221  222  223  224  225  226  227  228  229  230  231  232  233  234  235  236  237  238  239  240  241  242  243  244  245  246  247  248  249  250  251  252  253  254  255  256  257  258  259  260  261  262  263  264  265  266  267  268  269  270  271  272  273  274  275  276  277  278  279  280  281 

Аналогічно у випадку n-вимірного евклідового простору Rn ортонормованим базисом є система векторів

 

11 = (1; 0;...; 0),12 = (0; 1; ■■■; 0), . . .,     = (0; 0;...; 1) (1)

Для них

(~^к, ~^ь) = 0,k = l, {k,l} С{1,.. .,n},

(~^к, ~^к) = 1,   k є{1,...,п}.

Довільний n-вимірний вектор ~f =і; Ж2; ■■■; xn) одно­значно розкладається по базису 11, 12, ■ ■

 

ft = Жі~ЄЄ і + Ж212 + + Xn ~tn.

У цьому параграфі поширимо поняття ортонормованості на системи функцій, які розглядаються у певному просторі, а та­кож вивчимо питання розкладу довільної функції по базису, утвореному цією системою.

 

417Розглянемо на деякому відрізку [а; Ь] сукупність R([а; Ь]) усіх інтегровних на цьому відрізку функцій. До них, зокре­ма, належить кожна неперервна на відрізку [а; Ь] функція. Ця множина утворює лінійний простір, тобто з того, що {f,g} С R([a; Ь]) випливає, що будь-яка їхня лінійна комбінація af + (3g також належить до цього простору при довільних {а, в} С R.

У просторі R([a; Ь]) введемо поняття скалярного добутку функцій (f,g), який означимо рівністю

b

(f,g)= I f (x)g(x)dx. (2)

 

Зауважимо, що добуток двох інтегровних функцій {f,g} С R[a; Ь] є також інтегровною на [а; Ь] функцією.

Якщо скористатися властивостями визначених інтегралів, то легко можна довести, що:

1)  (f,g) = (g,f);

2)  (af,g) = (f,ag) = a(f,g), де а - дійсне число;

3)   (f1 + f2,g) = (fl,g) + (h,g), (f,g1 + g2) = (f,g1) + (f,g2);

4) (f,f) > 0.

У випадку, коли f неперервна на [а; Ь], з рівності (f, f) = 0 випливає, що f (x) =0, x Є [а; Ь]. Якщо ж f розривна функція, а серед інтегровних на [а; Ь] такі функції можливі, то з рівності (f, f) = 0 не завжди випливає, що f (x) дорівнює нулю скрізь на

[а; Ь]. Наприклад, для функції f (x) ^ ?'   Х = ((1; Ь^   (f, f) =

0, але ця функція не дорівнює нулю скрізь на [ ; Ь].

Введемо поняття ортогональності функцій. Функції {f,g} С R([ci; Ь]) називаються ортогональними на [а; Ь], як­що їхній скалярний добуток дорівнює нулю, тобто (f, g) = 0.

У просторі R([—n; п]) розглянемо нескінченну тригономет­ричну систему функцій

 

1, cos x, sin x, cos 2x, sin2x,..., cos nx, sin nx,... (3)

і доведемо, що вона ортогональна на відрізку [—п; п]. Для цього знайдемо скалярні добутку двох різних функцій цієї системи.

 

41( , cos nx) =


cos nxdx = sin nx

n


1

n


(sin nn + sin nn) = 0,n Є N;


(1, sin nx) =    sin nxdx = cos nx

nn


(cos nn cos nn) = 0,   n Є N;(cos nx, sin kx)


cos nx sin kxdx


(sin(k + n)x+ sin(k n)x)dx


n)

cos(k + n)x

2(k +


n)

cos(k n)x

2(k


0,{k, n} С N,

1 / sin(k + n)x 2\    k + n

 

j cos kx cos nxdx = 2 J (cos(k + n)x+

Страницы:
1  2  3  4  5  6  7  8  9  10  11  12  13  14  15  16  17  18  19  20  21  22  23  24  25  26  27  28  29  30  31  32  33  34  35  36  37  38  39  40  41  42  43  44  45  46  47  48  49  50  51  52  53  54  55  56  57  58  59  60  61  62  63  64  65  66  67  68  69  70  71  72  73  74  75  76  77  78  79  80  81  82  83  84  85  86  87  88  89  90  91  92  93  94  95  96  97  98  99  100  101  102  103  104  105  106  107  108  109  110  111  112  113  114  115  116  117  118  119  120  121  122  123  124  125  126  127  128  129  130  131  132  133  134  135  136  137  138  139  140  141  142  143  144  145  146  147  148  149  150  151  152  153  154  155  156  157  158  159  160  161  162  163  164  165  166  167  168  169  170  171  172  173  174  175  176  177  178  179  180  181  182  183  184  185  186  187  188  189  190  191  192  193  194  195  196  197  198  199  200  201  202  203  204  205  206  207  208  209  210  211  212  213  214  215  216  217  218  219  220  221  222  223  224  225  226  227  228  229  230  231  232  233  234  235  236  237  238  239  240  241  242  243  244  245  246  247  248  249  250  251  252  253  254  255  256  257  258  259  260  261  262  263  264  265  266  267  268  269  270  271  272  273  274  275  276  277  278  279  280  281 


Похожие статьи

В П Лавринчук - Вища математика загальний курс частина 2 математичний аналіз і диференціальні рівняння