В П Лавринчук - Вища математика загальний курс частина 2 математичний аналіз і диференціальні рівняння - страница 215

Страницы:
1  2  3  4  5  6  7  8  9  10  11  12  13  14  15  16  17  18  19  20  21  22  23  24  25  26  27  28  29  30  31  32  33  34  35  36  37  38  39  40  41  42  43  44  45  46  47  48  49  50  51  52  53  54  55  56  57  58  59  60  61  62  63  64  65  66  67  68  69  70  71  72  73  74  75  76  77  78  79  80  81  82  83  84  85  86  87  88  89  90  91  92  93  94  95  96  97  98  99  100  101  102  103  104  105  106  107  108  109  110  111  112  113  114  115  116  117  118  119  120  121  122  123  124  125  126  127  128  129  130  131  132  133  134  135  136  137  138  139  140  141  142  143  144  145  146  147  148  149  150  151  152  153  154  155  156  157  158  159  160  161  162  163  164  165  166  167  168  169  170  171  172  173  174  175  176  177  178  179  180  181  182  183  184  185  186  187  188  189  190  191  192  193  194  195  196  197  198  199  200  201  202  203  204  205  206  207  208  209  210  211  212  213  214  215  216  217  218  219  220  221  222  223  224  225  226  227  228  229  230  231  232  233  234  235  236  237  238  239  240  241  242  243  244  245  246  247  248  249  250  251  252  253  254  255  256  257  258  259  260  261  262  263  264  265  266  267  268  269  270  271  272  273  274  275  276  277  278  279  280  281 

n=1

Скориставшись ортогональністю тригонометричної систе­ми функцій (3), одержимо, що

 

 

f (x) cos kxdx = akп

 

п

J f (x)cos kxdx,   k Є N. (8)Помноживши тепер ліву і праву частини рівності (6) на sin kx, і, проінтегрувавши одержану рівність в межах від —п до п, знайдемо

п

bk = —    f (x) sin kxdx,   k Є N. (9) п

-п

Очевидно, що формули (7) і (8) можна об'єднати в одну

п

an = — / f (x)cos kxdx,   k Є Z+. (10) п

 

Формули (9), (10) називають формулами Ейлера-Фур'є,

а самі числа ak, k Є Z+, bk, k Є N, які визначаються цими фор­мулами, називають коефіцієнтами Фур'є для функції f(x), x Є [—п; п].

 

42Отже, якщо функція /(х) розкладається на відрізку [—7г; тт] в рівномірно збіжний тригонометричний ряд (6), то коефіцієн­ти цього ряду визначаються за формулами Ейлера-Фур'є, тоб­то є коефіцієнтами Фур'є функції /.

Розглянемо тепер довільну 2т-періодичну та інтегровну на відрізку [—тт; т] функцію /(х). Для такої функції за форму­лами (9), (10) знайдемо коефіцієнти Фур'є ao, ak, bk, к Є N. Складемо тригонометричний ряд (5), де ao, ak, bk, к Є N, ко­ефіцієнти Фур'є функції /. Цей ряд називається рядом Фур'є для функції /. Оскільки про збіжність ряду (5) нічого не ві­домо, то виникає запитання, коли він збігається і чи його сумою

є /(х).

Якщо функція / парна, то функції /(х) sin пх, п Є N, непар­ні на відрізку [—т ; т ], а тому згідно з формулами (9), одержує­мо, що bn = 0, п Є N. Коефіцієнти an знаходяться за формула­ми

п

2

an = — / /(x)cosnxdx,   п Є Z+. (11) т

o

Отже, для парної функції /(х), х Є [—тт; т], її ряд Фур'є (5) має вигляд

те

"2" + Е an cos пх, (12)

п=1

де коефіцієнти an, п Є Z+, обчислюються за формуламии (11).

У випадку, коли /(х) непарна, то функції /(х) cos пх, п Є Z+, також непарні на [—тт; тт], а тому an = 0, п Є Z+.

Оскільки / (х) sin пх, п Є N, парні на [—тт; т], то

 

 

bn = —    /(х) sin nxdx,   п Є N. (13)

т

o

Ряд Фур'є (5) для непарної функції /(х), х Є [—т ; т ], має вигляд

те

bn sin пх, (14)

n=l

 

423де коефіцієнти bn, п Є N, знаходяться за формулами (13).

Ряди (12) і (14) називають неповними рядами Фур'є від­повідно за косинусами і синусами кратних кутів.

Зауваження 1. Оскільки 2т-періодична інтегровна на відрізку [—т ; т ] функція / є інтегровною також на кожному

п

відрізку [a; a + 2т], a Є R, і правильна рівність J /(x)dx =

а+2п

j   /(x)dx, то формули (9) і (10) можна записати по-іншому.

а

Правильні такі формули для знаходження коефіцієнтів Фур'є 2т-періодичної інтегровної на відрізку [—т; т] функції /:
1

ті


/(х) cos mdx, a Є R,
J /(х) cos mdx, п Є Z+;
1

тт J


/(х) sin mdx, a Є R,
J /(х) sin mdx^ Є N.3.2. Розклад функцій в ряд Фур'є.

3.2.1. Розклад в ряд Фур'є 2т-періодичних функцій.

Раніше було визначено, що для розкладу функції / в ряд Фур'є (6) необхідно, щоб вона була 2 -періодичною та інтегровною на відрізку [; ] або на будь-якому відрізку довжини 2 . Якщо формально побудувати ряд Фур'є для такої функції, то він не обов'язково збіжний, а у випадку збіжності виникає запитання,

Страницы:
1  2  3  4  5  6  7  8  9  10  11  12  13  14  15  16  17  18  19  20  21  22  23  24  25  26  27  28  29  30  31  32  33  34  35  36  37  38  39  40  41  42  43  44  45  46  47  48  49  50  51  52  53  54  55  56  57  58  59  60  61  62  63  64  65  66  67  68  69  70  71  72  73  74  75  76  77  78  79  80  81  82  83  84  85  86  87  88  89  90  91  92  93  94  95  96  97  98  99  100  101  102  103  104  105  106  107  108  109  110  111  112  113  114  115  116  117  118  119  120  121  122  123  124  125  126  127  128  129  130  131  132  133  134  135  136  137  138  139  140  141  142  143  144  145  146  147  148  149  150  151  152  153  154  155  156  157  158  159  160  161  162  163  164  165  166  167  168  169  170  171  172  173  174  175  176  177  178  179  180  181  182  183  184  185  186  187  188  189  190  191  192  193  194  195  196  197  198  199  200  201  202  203  204  205  206  207  208  209  210  211  212  213  214  215  216  217  218  219  220  221  222  223  224  225  226  227  228  229  230  231  232  233  234  235  236  237  238  239  240  241  242  243  244  245  246  247  248  249  250  251  252  253  254  255  256  257  258  259  260  261  262  263  264  265  266  267  268  269  270  271  272  273  274  275  276  277  278  279  280  281 


Похожие статьи

В П Лавринчук - Вища математика загальний курс частина 2 математичний аналіз і диференціальні рівняння