В П Лавринчук - Вища математика загальний курс частина 2 математичний аналіз і диференціальні рівняння - страница 217

Страницы:
1  2  3  4  5  6  7  8  9  10  11  12  13  14  15  16  17  18  19  20  21  22  23  24  25  26  27  28  29  30  31  32  33  34  35  36  37  38  39  40  41  42  43  44  45  46  47  48  49  50  51  52  53  54  55  56  57  58  59  60  61  62  63  64  65  66  67  68  69  70  71  72  73  74  75  76  77  78  79  80  81  82  83  84  85  86  87  88  89  90  91  92  93  94  95  96  97  98  99  100  101  102  103  104  105  106  107  108  109  110  111  112  113  114  115  116  117  118  119  120  121  122  123  124  125  126  127  128  129  130  131  132  133  134  135  136  137  138  139  140  141  142  143  144  145  146  147  148  149  150  151  152  153  154  155  156  157  158  159  160  161  162  163  164  165  166  167  168  169  170  171  172  173  174  175  176  177  178  179  180  181  182  183  184  185  186  187  188  189  190  191  192  193  194  195  196  197  198  199  200  201  202  203  204  205  206  207  208  209  210  211  212  213  214  215  216  217  218  219  220  221  222  223  224  225  226  227  228  229  230  231  232  233  234  235  236  237  238  239  240  241  242  243  244  245  246  247  248  249  250  251  252  253  254  255  256  257  258  259  260  261  262  263  264  265  266  267  268  269  270  271  272  273  274  275  276  277  278  279  280  281 

у

— 11

-3т-2т —т O

т       х 1

На відрізку [—т; т] функція / кусково-диференційовна. Справді, якщо взяти розбиття цього відрізка на частини точками —т = ao < ai =0 < a2 = т, то на частинах (— т;0) і (0; т) функція диференцій­овна і /1 (х) = 0 на цих відрізках. У точках х = —т, х = 0 і х = т має­мо відповідно /(— т+0) = —1, /'( т+0) = 0, /(0+0) = 1, /'(0+0) = 0, /(0—0) = —1, /'(0—0) = 0, /(т—0) = 1, /'(т—0) = 0. Звідси випливає, що всі умови теореми 1 виконуються і ряд Фур'є в точках непере­рвності функції / збігається до значення функції в цих точках, а в

0              „      /о + 0) + /о 0) о
точках розриву хо = —т, 0, т маємо Ьо =-- 2--------- . Оче-
видно, точками розриву функції також є
хо = кт, к Є Z. У кожній з

/ (кт + 0) + / (кт 0)  . 0t.cv

цих точок --------- 2---------   = 0, і, крім того, / (кт) = 0, к Є Z.

Тому рівність (17) буде правильною для заданої функції / в усіх точ­ках х Є R. Отже, розглядувана функція розкладається в ряду Фур'є (6).

Знайдемо коефіцієнти Фур'є. Оскільки задана функція / непар­на, то an = 0, n Є Z+, а

 

bn =     sgn(sin пх) sin ихліх =     sin ихЛх =

тт

отп

cos пх

ІТТ1 (^TTT^T-T

2                2 2

---- cosпт +-- cos0 = —(1 ( 1)n),n Є N.

тп              тп тп

о

Коефіцієнти bn можна подати також у вигляді

 

0,                п = 2к,

Ьп = ^     (2,4   1),   п = 1,к Є N. т(2к 1)

 

 

427Отже, ряд Фур'є для функції /(х) = sgn(sin х) такий

4      sin(2k 1                              . .

sgn(sinх) = -У2—-        -L-,   х Є R. ► (18)

п           2k 1

k=i

Розглянутий приклад показує, що сума нескінченної кіль­кості неперервних функцій може бути розривною функцією. Це через те, що ряд (18) не збігається рівномірно.

Зауваження 2. Розклад функції в ряд Фур'є можна вико­ристовувати для обчислення сум числових рядів. Наприклад,

п

якщо взяти в рівності (18) х = 2, то дістанемо

= 4 ^ sin(2k - 1)п

 

 

Оскільки sin(2k 1)П = (—1)к, k Є N, то з цієї рівності одержимо, що

те л

п = Y(—1)к^—'

к=1

У правій частині цієї рівності стоїть ряд Лейбніца.

3.2.2. Розклад в ряд Фур'є функції, яка задана на відрізку довжини 2п або п. У попередніх пунктах вивчало­ся питання розкладу в ряд Фур'є функції, яка є 2п-періодичною і визначена на всій числовій осі. У цьому пункті розглядати­мемо питання розкладу в ряд Фур'є функції, яка визначена на проміжку (—п; п], [—п; п), (—п; п) або [—п; п].

Розглянемо довільну інтегровну на відрізку [—п; п] функ­цію /(х). Для такої функції за формулами (7), (8), (9) знайдемо коефіцієнти ao, ak, bk, k Є N, і складемо ряд Фур'є (5). Отже, кожній інтегровній на відрізку [—п; п] функції /(х) відповідає свій ряд Фур'є. Оскільки про збіжність ряду (5) нічого не відо­мо, то замість знаку рівності ставлять знак відповідності, тобто записують

Страницы:
1  2  3  4  5  6  7  8  9  10  11  12  13  14  15  16  17  18  19  20  21  22  23  24  25  26  27  28  29  30  31  32  33  34  35  36  37  38  39  40  41  42  43  44  45  46  47  48  49  50  51  52  53  54  55  56  57  58  59  60  61  62  63  64  65  66  67  68  69  70  71  72  73  74  75  76  77  78  79  80  81  82  83  84  85  86  87  88  89  90  91  92  93  94  95  96  97  98  99  100  101  102  103  104  105  106  107  108  109  110  111  112  113  114  115  116  117  118  119  120  121  122  123  124  125  126  127  128  129  130  131  132  133  134  135  136  137  138  139  140  141  142  143  144  145  146  147  148  149  150  151  152  153  154  155  156  157  158  159  160  161  162  163  164  165  166  167  168  169  170  171  172  173  174  175  176  177  178  179  180  181  182  183  184  185  186  187  188  189  190  191  192  193  194  195  196  197  198  199  200  201  202  203  204  205  206  207  208  209  210  211  212  213  214  215  216  217  218  219  220  221  222  223  224  225  226  227  228  229  230  231  232  233  234  235  236  237  238  239  240  241  242  243  244  245  246  247  248  249  250  251  252  253  254  255  256  257  258  259  260  261  262  263  264  265  266  267  268  269  270  271  272  273  274  275  276  277  278  279  280  281 


Похожие статьи

В П Лавринчук - Вища математика загальний курс частина 2 математичний аналіз і диференціальні рівняння