В П Лавринчук - Вища математика загальний курс частина 2 математичний аналіз і диференціальні рівняння - страница 218

Страницы:
1  2  3  4  5  6  7  8  9  10  11  12  13  14  15  16  17  18  19  20  21  22  23  24  25  26  27  28  29  30  31  32  33  34  35  36  37  38  39  40  41  42  43  44  45  46  47  48  49  50  51  52  53  54  55  56  57  58  59  60  61  62  63  64  65  66  67  68  69  70  71  72  73  74  75  76  77  78  79  80  81  82  83  84  85  86  87  88  89  90  91  92  93  94  95  96  97  98  99  100  101  102  103  104  105  106  107  108  109  110  111  112  113  114  115  116  117  118  119  120  121  122  123  124  125  126  127  128  129  130  131  132  133  134  135  136  137  138  139  140  141  142  143  144  145  146  147  148  149  150  151  152  153  154  155  156  157  158  159  160  161  162  163  164  165  166  167  168  169  170  171  172  173  174  175  176  177  178  179  180  181  182  183  184  185  186  187  188  189  190  191  192  193  194  195  196  197  198  199  200  201  202  203  204  205  206  207  208  209  210  211  212  213  214  215  216  217  218  219  220  221  222  223  224  225  226  227  228  229  230  231  232  233  234  235  236  237  238  239  240  241  242  243  244  245  246  247  248  249  250  251  252  253  254  255  256  257  258  259  260  261  262  263  264  265  266  267  268  269  270  271  272  273  274  275  276  277  278  279  280  281 

те

/(х) ~ ~2° + £(ak cos + bk sin kх)' (19) 2 к=1

42З попереднього випливає, що коли функція /(х) на відрізку [—п; п] розкладається в рівномірно збіжний тригонометрич­ний ряд, то цей ряд єдиний і він є рядом Фур'є для функції

/(х).

Оскільки члени ряду (19) є періодичними функціями з пе­ріодом 2п, то сума цього ряду у випадку його збіжності буде також періодичною з періодом 2п. Отже, для того щоб ряд Фур'є для функції / збігався до цієї самої функції, необхідно, щоб / була періодичною з періодом 2п, тобто /+ 2п) = /(х), х Є (—те; +оо).

Якщо / не є періодичною, а визначеною, наприклад, на де­якому відрізку [a; b] С [п; п], то можна побудувати допоміжну інтегровну періодичну функцію /(х) з періодом 2п таку, щоб всередині відрізка [a; b] вона збігалася з функцією /(х). Тоді, якщо ряд Фур'є функції / на відрізку [п; п] збігається до /, то для х Є [a; b] він збігається до /.

У випадку, коли неперіодична функція /(х) визначена на деякому відрізку [a; b] D [п; п], або на R, можна побудувати інтегровну функцію д(х), яка на відрізку [п;п] збігається з /(х) і має період 2п. Якщо ряд Фур'є, складений для д(х), збігається до д(х), то на відрізку [—п; п] він зображує задану функцію / (х).

Побудова періодичної з періодом 2п функції д(х), яка дорів­нює заданій функції /(х) на відрізку [п; п] або на деякій ча­стині його у випадку, коли /(х) визначена на відрізку [a; b] С [п; п], називається перюдичним продовженням функції / (х).

Для того щоб періодичне продовження було однозначним і всюди визначеним, треба спочатку д(х) задати на проміжку (п; п] або на проміжку [п; п). На кінцях відрізка [п; п] за періодичне продовження функції /(х) беруть

 

д(п)= д(—п) = м    >2JK '.

Важливу роль відіграє продовження кусково-гладкої функ­ції /(х), заданої на відрізку [0; п], на відрізок [п; п] парно або

 

429непарно. У першому випадку на відрізку [—тт; тт] матимемо пар-

ну функцію, яка розкладається в неповний ряд Фур'є за коси-

нусами, а в другому - непарну, яка розкладається в ряд Фур'є

за синусами. На проміжку (0; тт) кожний з цих рядів збігається до f (x) у точках неперервності функції f (x).

Оскільки при парному продовженні довільної кусково-неперервної і кусково-гладкої функції f(x), заданої на відрізку [0; т ] , правильні співвідношення

 

f (0 0) = f (0 + 0)   і   f (—тт + 0) = f (тт 0),

 

то сума її тригонометричного ряду Фур'є в точках x = 0 і

x = ±тт буде неперервною і дорівнюватиме відповідно f (0 + 0) = f (0 0) і f (—т + 0) = f 0). Якщо ж f (x), крім того, неперервна на кінцях відрізка [0; тг], тобто f (0 + 0) = f (0), f (тт 0) = f (тт), то звідси випливає, що сума її ряду за косинусами дорівнює f(x) і на кінцях цього відрізка.

При розкладі функції f (x), x Є [0;тг]. в ряд за синусами, тобто при непарному продовженні f(x) на відрізок [—т ; 0], у сумі ряду Фур'є можуть з'явитися розриви в точках x = 0 і x = ±тт, навіть у випадку неперервності і гладкості f (x) на відрізку [0; т ]. Оскільки при непарному продовженні f(0—0) = = —f (0+0) і f (—т+0) = —f0) , то рівності f (0—0) = f (0+0) і f (—тт + 0) = f (тт 0), які необхідні для неперервності суми ряду Фур'є в точках x = 0 і x = ±тт, будуть правильними тільки у випадку, коли f (0 + 0) = 0 і f (тт 0) = 0.

Приклад 2. Розкласти в ряд Фур'є на відрізку [—т; т] функцію f (x)= x2. _

на всю числову вісь.


430



А Графiк функції f та її 2т-пєріодичного продовження f зобра-Очевидно, що умови теореми 1 виконуються, бо 2"7Г-періодичною i /(x) = /(x) = x1, x Є [—п; п], є кусково-диференційовною на цьому відрізку, оскільки вона диференційовна на (—п; п) та існують похідні /'(п 0) = 2п, /'(—п + 0) = 2п, і, крім того, / неперервна на відрізку [—п; п]. Тоді згідно з цією теоремою / розкладається в ряд Фур'є на відрізку [—п; п].

Страницы:
1  2  3  4  5  6  7  8  9  10  11  12  13  14  15  16  17  18  19  20  21  22  23  24  25  26  27  28  29  30  31  32  33  34  35  36  37  38  39  40  41  42  43  44  45  46  47  48  49  50  51  52  53  54  55  56  57  58  59  60  61  62  63  64  65  66  67  68  69  70  71  72  73  74  75  76  77  78  79  80  81  82  83  84  85  86  87  88  89  90  91  92  93  94  95  96  97  98  99  100  101  102  103  104  105  106  107  108  109  110  111  112  113  114  115  116  117  118  119  120  121  122  123  124  125  126  127  128  129  130  131  132  133  134  135  136  137  138  139  140  141  142  143  144  145  146  147  148  149  150  151  152  153  154  155  156  157  158  159  160  161  162  163  164  165  166  167  168  169  170  171  172  173  174  175  176  177  178  179  180  181  182  183  184  185  186  187  188  189  190  191  192  193  194  195  196  197  198  199  200  201  202  203  204  205  206  207  208  209  210  211  212  213  214  215  216  217  218  219  220  221  222  223  224  225  226  227  228  229  230  231  232  233  234  235  236  237  238  239  240  241  242  243  244  245  246  247  248  249  250  251  252  253  254  255  256  257  258  259  260  261  262  263  264  265  266  267  268  269  270  271  272  273  274  275  276  277  278  279  280  281 


Похожие статьи

В П Лавринчук - Вища математика загальний курс частина 2 математичний аналіз і диференціальні рівняння