В П Лавринчук - Вища математика загальний курс частина 2 математичний аналіз і диференціальні рівняння - страница 22

Страницы:
1  2  3  4  5  6  7  8  9  10  11  12  13  14  15  16  17  18  19  20  21  22  23  24  25  26  27  28  29  30  31  32  33  34  35  36  37  38  39  40  41  42  43  44  45  46  47  48  49  50  51  52  53  54  55  56  57  58  59  60  61  62  63  64  65  66  67  68  69  70  71  72  73  74  75  76  77  78  79  80  81  82  83  84  85  86  87  88  89  90  91  92  93  94  95  96  97  98  99  100  101  102  103  104  105  106  107  108  109  110  111  112  113  114  115  116  117  118  119  120  121  122  123  124  125  126  127  128  129  130  131  132  133  134  135  136  137  138  139  140  141  142  143  144  145  146  147  148  149  150  151  152  153  154  155  156  157  158  159  160  161  162  163  164  165  166  167  168  169  170  171  172  173  174  175  176  177  178  179  180  181  182  183  184  185  186  187  188  189  190  191  192  193  194  195  196  197  198  199  200  201  202  203  204  205  206  207  208  209  210  211  212  213  214  215  216  217  218  219  220  221  222  223  224  225  226  227  228  229  230  231  232  233  234  235  236  237  238  239  240  241  242  243  244  245  246  247  248  249  250  251  252  253  254  255  256  257  258  259  260  261  262  263  264  265  266  267  268  269  270  271  272  273  274  275  276  277  278  279  280  281 

 

тобто, послідовність {хп,п Є N} обмежена зверху числом 3. Очевидно, що {хп, п Є N} обмежена знизу 2.

Одержали, що послідовність є зростаючою і обмеженою, а тому згідно з попереднім наслідком має скінчену границю, яку позначають буквою e:

lim (l +        = e,   де 2 < e < 3.

п—оо у        п )

Точніше підраховується, що e ~ 2,718281.... Крім того, можна довести, що e є ірраціональним числом.

Доведено, що функція f (х) = (1 + X)x при х +оо і при х —оо має границю, що дорівнює числу e:

e = lim (1 + -)x.

x—ос х

У цій рівності покладемо y = -, тобто х = - і як результат

x y

одержимо ще один запис числа e:

і

e = lim(1 + y)y.

 

Число e (число Ейлера, неперове число) відіграє дуже важ­ливу роль у математичному аналізі. Графік функції y = ex на­зивається експонентою. Широко використовуються логариф­ми за основою e, які називаються натуральними. Натуральні логарифми позначаються символом ln:

loge х = ln х,   х > 0.

 

5До числа е приводить розв'язування багатьох прикладних задач статистики, фізики, біології, хімії, єкономіки i т. п.

Приклад 18. Розглянемо задачу про неперервне нарахування відсотків. Початковий вклад у банк становить qo грошових одиниць. Банк виплачує p% річних. Треба знайти розмір вкладу qt через t років.

А Очевидно, що при p% річних розмір вкладу щорічно збіль­шується в (1 + Tppo) разів, тобто qi = qo(l +       ), q2 = ql(l + Too ) =

qo(i + t°o)2,    qt = qo(i + Too)\

Отже, маємо, що через t років сума вкладу

qt = qo(1+i0o)t-

Ця формула називається формулою складних відсотків.

Якщо нараховувати відсотки по вкладах не один раз на рік, а n разів, то при тому самому щорічному прирості p% відсоток нараху-

1 p
вання за--- y частину року становитеме — %, а розмір вкладу за t

nn років при nt нарахуваннях дорівнюватиме

 

qt = qo(1 +

1oon

Вважатимемо, що відсотки по вкладу нараховуються кожне півріччя (n = 2), щоквартально (n = 4), щомісячно (n = 12), кожного дня (n = 365), щогодини (n = 8760) і т.д., неперервно (n оо). Тоді розмір вкладу за t років становитиме

qt = lim qo(1 + -0-)ut = qo lim ((1 + -0-)^)& =
u—oo         100n    u—oo 100nx = p

x      loon>

n —> oo =>• x —> 0


qo lim((1+ x) X ) ip°° = qoеlP°° .

x—Ця формула виражає показниковий (експоненціальний) закон зростання (при p > 0) або спадання (при p < 0). Вона використо­вується при неперервному нарахуванні відсотків.

На практиці у фінансово-кредитних операціях неперервне на­рахування відсотків використовується рідко, але воно є ефективним при аналізі складних фінансових проблем, зокрема, при обгрунту­ванні та виборі інвестиційних рішень.

Приклад 19. Нехай є mo грам-молекул активної речовини. Припускаючи, що за одиницю часу вступає в реакцію p% цієї ре­човини, знайти, яка кількість грам-молекул не вступить в реакцію за час t.

 

5pmo

А За одиницю часу в реакцію вступають - грам-молекул, а залишається mo ^1 —        . Через дві одиниці часу не вступило в

реакцію mo І 1--- І , а через t одиниць часу - mo І 1- І грам-

молекул.

Якщо одиницю часу поділити на n частин, то зау частину

n

p

одиниці часу матимемо — % відсотків речовини, що вступає в реак-

n

100n

грам-молекул. У випадку, коли n — ж матимемо, що не вступає в реакцію за час t така кількість речовини:

_ j±_

C         —    / 1   Р     \             —І          І1        Р     ^ p

p

цію, а тоді за t одиниць часу не вступить в реакцію mo І 1

Страницы:
1  2  3  4  5  6  7  8  9  10  11  12  13  14  15  16  17  18  19  20  21  22  23  24  25  26  27  28  29  30  31  32  33  34  35  36  37  38  39  40  41  42  43  44  45  46  47  48  49  50  51  52  53  54  55  56  57  58  59  60  61  62  63  64  65  66  67  68  69  70  71  72  73  74  75  76  77  78  79  80  81  82  83  84  85  86  87  88  89  90  91  92  93  94  95  96  97  98  99  100  101  102  103  104  105  106  107  108  109  110  111  112  113  114  115  116  117  118  119  120  121  122  123  124  125  126  127  128  129  130  131  132  133  134  135  136  137  138  139  140  141  142  143  144  145  146  147  148  149  150  151  152  153  154  155  156  157  158  159  160  161  162  163  164  165  166  167  168  169  170  171  172  173  174  175  176  177  178  179  180  181  182  183  184  185  186  187  188  189  190  191  192  193  194  195  196  197  198  199  200  201  202  203  204  205  206  207  208  209  210  211  212  213  214  215  216  217  218  219  220  221  222  223  224  225  226  227  228  229  230  231  232  233  234  235  236  237  238  239  240  241  242  243  244  245  246  247  248  249  250  251  252  253  254  255  256  257  258  259  260  261  262  263  264  265  266  267  268  269  270  271  272  273  274  275  276  277  278  279  280  281 


Похожие статьи

В П Лавринчук - Вища математика загальний курс частина 2 математичний аналіз і диференціальні рівняння