В П Лавринчук - Вища математика загальний курс частина 2 математичний аналіз і диференціальні рівняння - страница 224

Страницы:
1  2  3  4  5  6  7  8  9  10  11  12  13  14  15  16  17  18  19  20  21  22  23  24  25  26  27  28  29  30  31  32  33  34  35  36  37  38  39  40  41  42  43  44  45  46  47  48  49  50  51  52  53  54  55  56  57  58  59  60  61  62  63  64  65  66  67  68  69  70  71  72  73  74  75  76  77  78  79  80  81  82  83  84  85  86  87  88  89  90  91  92  93  94  95  96  97  98  99  100  101  102  103  104  105  106  107  108  109  110  111  112  113  114  115  116  117  118  119  120  121  122  123  124  125  126  127  128  129  130  131  132  133  134  135  136  137  138  139  140  141  142  143  144  145  146  147  148  149  150  151  152  153  154  155  156  157  158  159  160  161  162  163  164  165  166  167  168  169  170  171  172  173  174  175  176  177  178  179  180  181  182  183  184  185  186  187  188  189  190  191  192  193  194  195  196  197  198  199  200  201  202  203  204  205  206  207  208  209  210  211  212  213  214  215  216  217  218  219  220  221  222  223  224  225  226  227  228  229  230  231  232  233  234  235  236  237  238  239  240  241  242  243  244  245  246  247  248  249  250  251  252  253  254  255  256  257  258  259  260  261  262  263  264  265  266  267  268  269  270  271  272  273  274  275  276  277  278  279  280  281 

n x         2            n x        2                 n x

f (x) sin—-— dx = - / x sin—-— dx +     (l x) sin—-— d2   f            nnx 2

----- / xd cos —:------

nn J              l nn


j(l  x)dcos ­


l2 / nnx [x cos і


і/2

0


і/2

I cos--- dx\------- ((l x) cos

ln


і/2



+ cos

і/2


n x 2

- :- i =--------

ln

l nnx

--  sin - :-

n l2 / l nn l nn:
----- — л cos —- +------ sin ——


і/2


\          l        nn       2l nn

n   2      n2 2 44/        пп       21        пп       Al пп

Л     cos       1   sin — =   2 2 sm,   n Є N.

nn       2     п/п2       2      п/п2 2

Очевидно, що коли п є парним, тобто п  =   2k, то bn =

—22 sin kn = 0. Якщо ж п - непарне, тобто п = 2k 1, то k2n2

bn   =   (2k 1)2п2 Sm(2k 1)2   =   (2k 1)2п2 81П       2
Al            ,        ( 1)k+1Al   , _

(2k1)2п2        kn = (2k 1)2п2 , k Є N.

Отже, ряд Фур'є для заданої функції має вигляд

n     Al ^ ( 1)к+1      (2k 1)пж     r п

f (x) = п2 2. (2k 1)2 sm"            x Є [0; l].

 

Зауваження. Якщо порівнювати розклад функції в степе­невий ряд із розкладом її в ряд Фур'є, то останній має істотні переваги. Це пов'язано з тим, що при розкладі в ряд Фур'є до­статньо кускової диференційовності і неперервності функції у той час, як для розкладу в степеневий ряд, взагалі кажучи, мало навіть нескінченної диференційовності. Тому клас функ­цій, які розкладаються в ряд Фур'є значно ширший, ніж клас функцій, які розкладаються в степеневий ряд.

3.4. Подвійні ряди Фур'є. Аналогічно, як і для випад­ку функції однієї змінної, введемо поняття ряду Фур'є функції двох змінних.

Нехай P = {(x; y) Є R2 : x Є [a; b],y Є [c; d]}. Розгляне­мо сукупність R(P) всіх інтегровних на цьому прямокутнику функцій двох змінних. Зокрема, всі неперервні функції нале­жать до цієї сукупності. Простір R(P) є лінійним простором, а добуток двох інтегровних функцій є знову інтегровною функ­цією, тобто належить R(P).

У просторі R(P) введемо поняття скалярного добутку (f,g) функцій f і g, а саме:

(f,g) = JJ f (x,y)g(x,y)dxdy. (27) p

Легко можна переконатися, що, введений за допомогою формули (27) скалярний добуток, має такі самі властивості 1)

 

44- 4), як скалярний добуток інтегровних на відрізку функцій однієї змінної, що описані в пункті 3.1.1.

Функції f Є R(P) і g Є R(P) називаються ортогональ­ними, якщо їхній скалярний добуток дорівнює нулю, тобто

(f,g) = о.

Розглянемо випадок, коли P = {(x; y) Є R2 : x Є [—п; тт],у Є [—п; тт]} або P = {(x; y) Є R2 : x Є [a; a + 2п], y Є [b; b + 2п]}, де a, b - деякі дійсні числа. Якщо скористатися рів-ностями (4), то легко можна довести ортогональність системи функцій

Страницы:
1  2  3  4  5  6  7  8  9  10  11  12  13  14  15  16  17  18  19  20  21  22  23  24  25  26  27  28  29  30  31  32  33  34  35  36  37  38  39  40  41  42  43  44  45  46  47  48  49  50  51  52  53  54  55  56  57  58  59  60  61  62  63  64  65  66  67  68  69  70  71  72  73  74  75  76  77  78  79  80  81  82  83  84  85  86  87  88  89  90  91  92  93  94  95  96  97  98  99  100  101  102  103  104  105  106  107  108  109  110  111  112  113  114  115  116  117  118  119  120  121  122  123  124  125  126  127  128  129  130  131  132  133  134  135  136  137  138  139  140  141  142  143  144  145  146  147  148  149  150  151  152  153  154  155  156  157  158  159  160  161  162  163  164  165  166  167  168  169  170  171  172  173  174  175  176  177  178  179  180  181  182  183  184  185  186  187  188  189  190  191  192  193  194  195  196  197  198  199  200  201  202  203  204  205  206  207  208  209  210  211  212  213  214  215  216  217  218  219  220  221  222  223  224  225  226  227  228  229  230  231  232  233  234  235  236  237  238  239  240  241  242  243  244  245  246  247  248  249  250  251  252  253  254  255  256  257  258  259  260  261  262  263  264  265  266  267  268  269  270  271  272  273  274  275  276  277  278  279  280  281 


Похожие статьи

В П Лавринчук - Вища математика загальний курс частина 2 математичний аналіз і диференціальні рівняння