В П Лавринчук - Вища математика загальний курс частина 2 математичний аналіз і диференціальні рівняння - страница 226

Страницы:
1  2  3  4  5  6  7  8  9  10  11  12  13  14  15  16  17  18  19  20  21  22  23  24  25  26  27  28  29  30  31  32  33  34  35  36  37  38  39  40  41  42  43  44  45  46  47  48  49  50  51  52  53  54  55  56  57  58  59  60  61  62  63  64  65  66  67  68  69  70  71  72  73  74  75  76  77  78  79  80  81  82  83  84  85  86  87  88  89  90  91  92  93  94  95  96  97  98  99  100  101  102  103  104  105  106  107  108  109  110  111  112  113  114  115  116  117  118  119  120  121  122  123  124  125  126  127  128  129  130  131  132  133  134  135  136  137  138  139  140  141  142  143  144  145  146  147  148  149  150  151  152  153  154  155  156  157  158  159  160  161  162  163  164  165  166  167  168  169  170  171  172  173  174  175  176  177  178  179  180  181  182  183  184  185  186  187  188  189  190  191  192  193  194  195  196  197  198  199  200  201  202  203  204  205  206  207  208  209  210  211  212  213  214  215  216  217  218  219  220  221  222  223  224  225  226  227  228  229  230  231  232  233  234  235  236  237  238  239  240  241  242  243  244  245  246  247  248  249  250  251  252  253  254  255  256  257  258  259  260  261  262  263  264  265  266  267  268  269  270  271  272  273  274  275  276  277  278  279  280  281 

+lrs, {r,s} С N,

називається частинною сумою ряду (32).

Якщо існує скінченна границя Hm Ars = A, то ряд (32)

s>оо

називається збіжним, а число A - сумою цього ряду і запи­те

сують це так:           lmn = A. Якщо ж границя Hm Ars = оо

m,n=0 s—°

або не існує, то подвійний ряд (32) називають розбіжним і вважають, що він у цьому випадку не має суми.

Легко бачити, що коли lmn = pmqn, {m,n} С Z+, то подвій­ний ряд (32) збіжний тоді й тільки тоді, коли збіжні ряди

оо             оо оо

pm і У^ qn. При цьому правильна рівність                  lmn =

m=0         n=0 m,n=0

оо

^ ^ Pm^ ^ qn.

m=0 n=0

Якщо зафіксувати точку (ж; у) Є P, поклавши (ж; у) = (x0\у0) Є P, то функціональний ряд (31) стане числовим ря­дом, який може бути як збіжним, так і розбіжним. У першому випадку точка (x0; У0) називається точкою збіжності ряду (31), а у другому випадку - точкою розбіжності. Надалі вивчатиме­мо поточкову збіжність ряду (31), тобто збіжність у кожній точці (x;у) Є P.

 

44Нехай ряд (31) є збіжним у кожній точці (x; у) Є М2 і /(х,у) є його сумою, тобто

 

/(ж, у) = ^ \mn(amn cos mx cos ny + bmn sin mx cos ny+

m,n=0

 

+cmn cos mx sin ny + dmn sin mx sin ny),   (x; у) Є М2. (33)

Функція / є 27г-періодичною відносно x при кожному фік­сованому у Є М і 27г-періодичною відносно у при кожному фік­сованому x Є М, тобто

 

/(x + 2тг, у) = /(x, у), x Є М,   /(x, у + 2п) = /(x, у), у Є М.

Припустимо, що сума /(x, у) ряду (33) є інтегровною функцією на P = {(x; у) : x Є [п; п],у Є [п; п]}. Вважаючи, що ряд (33) збігається рівномірно на P, проінтегруємо обидві частини рівності (33)

оо

/(x,y)dxdy = ^ Amn^amn   / cos mx cos nydxdy+

p                           m,n=0 p

 

+bmn JJ sin mx cos nydxdy + cmn JJ cos mx sin nydxdy+ pp

+dmn JJ sin mx sin nydxdy^. p

Якщо скористатися рівностями (29) і (30), то одержимо

/(x, y)dxdy = \ooaoo JJ 1 dxdy = аооп2, pp

звідки випливає, що

аоо = Л / / /(x, y)dxdy. (34) п2

pДля того щоб знайти коефіцєнт ars, помножимо обидві ча­стини рівності (33) на cos rx cos sy, проінтегруємо по області P і скористаємося рівностями (29) і (30). Тоді дістанемо, щ/(x,y)cos rx cos sydxdy =  ^ Amn[ amn

p                                               m,n=0 p


cos mx cos ny x cos rx cos sydxdy + bmn j j sin mx cos ny cos rx cos sydxdy+

Страницы:
1  2  3  4  5  6  7  8  9  10  11  12  13  14  15  16  17  18  19  20  21  22  23  24  25  26  27  28  29  30  31  32  33  34  35  36  37  38  39  40  41  42  43  44  45  46  47  48  49  50  51  52  53  54  55  56  57  58  59  60  61  62  63  64  65  66  67  68  69  70  71  72  73  74  75  76  77  78  79  80  81  82  83  84  85  86  87  88  89  90  91  92  93  94  95  96  97  98  99  100  101  102  103  104  105  106  107  108  109  110  111  112  113  114  115  116  117  118  119  120  121  122  123  124  125  126  127  128  129  130  131  132  133  134  135  136  137  138  139  140  141  142  143  144  145  146  147  148  149  150  151  152  153  154  155  156  157  158  159  160  161  162  163  164  165  166  167  168  169  170  171  172  173  174  175  176  177  178  179  180  181  182  183  184  185  186  187  188  189  190  191  192  193  194  195  196  197  198  199  200  201  202  203  204  205  206  207  208  209  210  211  212  213  214  215  216  217  218  219  220  221  222  223  224  225  226  227  228  229  230  231  232  233  234  235  236  237  238  239  240  241  242  243  244  245  246  247  248  249  250  251  252  253  254  255  256  257  258  259  260  261  262  263  264  265  266  267  268  269  270  271  272  273  274  275  276  277  278  279  280  281 


Похожие статьи

В П Лавринчук - Вища математика загальний курс частина 2 математичний аналіз і диференціальні рівняння