В П Лавринчук - Вища математика загальний курс частина 2 математичний аналіз і диференціальні рівняння - страница 227

Страницы:
1  2  3  4  5  6  7  8  9  10  11  12  13  14  15  16  17  18  19  20  21  22  23  24  25  26  27  28  29  30  31  32  33  34  35  36  37  38  39  40  41  42  43  44  45  46  47  48  49  50  51  52  53  54  55  56  57  58  59  60  61  62  63  64  65  66  67  68  69  70  71  72  73  74  75  76  77  78  79  80  81  82  83  84  85  86  87  88  89  90  91  92  93  94  95  96  97  98  99  100  101  102  103  104  105  106  107  108  109  110  111  112  113  114  115  116  117  118  119  120  121  122  123  124  125  126  127  128  129  130  131  132  133  134  135  136  137  138  139  140  141  142  143  144  145  146  147  148  149  150  151  152  153  154  155  156  157  158  159  160  161  162  163  164  165  166  167  168  169  170  171  172  173  174  175  176  177  178  179  180  181  182  183  184  185  186  187  188  189  190  191  192  193  194  195  196  197  198  199  200  201  202  203  204  205  206  207  208  209  210  211  212  213  214  215  216  217  218  219  220  221  222  223  224  225  226  227  228  229  230  231  232  233  234  235  236  237  238  239  240  241  242  243  244  245  246  247  248  249  250  251  252  253  254  255  256  257  258  259  260  261  262  263  264  265  266  267  268  269  270  271  272  273  274  275  276  277  278  279  280  281 

p

+cmn JJ cos mx sin ny cos rx cos sydxdy + dmn JJ sin mx sin nyx

pp

x cos rx cos sydxdy

або

^ /(x, y) cos rx cos sydxdy = Arsars JJ cos2 rx cos2 sydxdy = pp

= п2 ars.

Звідси випливає, що

ars = -Л- JJ /(x,y)cos rx cos sydxdy. (35) p

Формули (34) і (35) можна об'єднати, записавши їх у вигляді

amn = ~2 JJ / (x,y)cos mx cos nydxdy, {m,n} С Z+. (36) p

Аналогічно одержуються формули для знаходження інших коефіцієнтів ряду Фур'є (33):

bmn =     JJ /(x,y)sin mx cos nydxdy, (37) p/// (x,y)cos mx sin nydxdy, (38) p

dmn ~9 JJ /(x,y) sin mx sin nydxdy, {m, n} с Z+. (39) p

Очевидно, що в ряді (33) множник Xmn підібрано так, щоб фор­мули (35) - (39) мали поді6ний вигляд.

Ряд (31), коефіцієнти якого знаходяться за формулами (36) - (39), називається подвійним рядом Фур'є, побудованим для 2тг-періодичної по кожній змінній та інтегровної в області P {(x; y) : x є [ т; ir],y є [-тт; тт}} функції / (x,y). Сформу­люємо найпростіші достатні умови розкладу функції у подвій­ний ряд Фур'є (31).

Теорема 3. Нехай функція /(x, y) є -періодичною по кожній змінній та інтегровна в квадраті P {(x; y) : x є [—тт; тт],у є [—тт; тт]} або в будь-якому з таких квадратів P{(x; y) : x є [a; a + 2т], y є [b; b + 2тг]}7 де {a, b} с R. Якщо / неперервна в R9, а в квадратл P має неперервт частинт по­д/   д/    д9/

хідні —, —,            , то її подвійний ряд Фур'є збігається до

dx   ду dxdy

/(x,y) у кожній точці (x; y) є R9, тобто

те

/(x,y) — Е Xmn(amn cos mx cos ny + bmn sin mx cos ny+

m,n=0

+cmn cos mx sin ny + dmn sin mx sin ny),    (x; y) є R9, (40)

де коефіцієнти Фур'є amn, bmn, cmn, dmn знаходяться за фор­мулами (36) - (39).

Якщо функція /(x,y) не є 2т-періодичною відносно кож­ної із змінних і визначена лише на квадраті P {(x; y) : x є [—тт; тт],у є [—тт; тт]}, то аналогічно, як і для функції однієї змін­ної, періодично продовжимо її на всю площину R9 по кожній змінній при фіксованій інший з періодом 2т. Якщо для продов­женої функції /(x,y) виконуються умови теореми 3, то для неї має місце розклад в подвійний ряд Фур'є. Цей ряд має своєю сумою /(x, y) у кожній внутрішній точці (x; y) є P.Приклад 9. Розкласти в подвійний ряд Фур'є функцію /(x, y) = xy, —n < x < n, —n < y < n.

А Продовжимо задану функцію за неперервністю на весь квад­рат P = {(x; y) : —n < x < n, —n < y < n}, поклавши /(x,y) = xy, (x; y) Є P, а далі 2т-періодично по кожній із змінних на всю площину R2. У внутрішніх точках квадрата P функція / є неперервною разом

Страницы:
1  2  3  4  5  6  7  8  9  10  11  12  13  14  15  16  17  18  19  20  21  22  23  24  25  26  27  28  29  30  31  32  33  34  35  36  37  38  39  40  41  42  43  44  45  46  47  48  49  50  51  52  53  54  55  56  57  58  59  60  61  62  63  64  65  66  67  68  69  70  71  72  73  74  75  76  77  78  79  80  81  82  83  84  85  86  87  88  89  90  91  92  93  94  95  96  97  98  99  100  101  102  103  104  105  106  107  108  109  110  111  112  113  114  115  116  117  118  119  120  121  122  123  124  125  126  127  128  129  130  131  132  133  134  135  136  137  138  139  140  141  142  143  144  145  146  147  148  149  150  151  152  153  154  155  156  157  158  159  160  161  162  163  164  165  166  167  168  169  170  171  172  173  174  175  176  177  178  179  180  181  182  183  184  185  186  187  188  189  190  191  192  193  194  195  196  197  198  199  200  201  202  203  204  205  206  207  208  209  210  211  212  213  214  215  216  217  218  219  220  221  222  223  224  225  226  227  228  229  230  231  232  233  234  235  236  237  238  239  240  241  242  243  244  245  246  247  248  249  250  251  252  253  254  255  256  257  258  259  260  261  262  263  264  265  266  267  268  269  270  271  272  273  274  275  276  277  278  279  280  281 


Похожие статьи

В П Лавринчук - Вища математика загальний курс частина 2 математичний аналіз і диференціальні рівняння