В П Лавринчук - Вища математика загальний курс частина 2 математичний аналіз і диференціальні рівняння - страница 236

Страницы:
1  2  3  4  5  6  7  8  9  10  11  12  13  14  15  16  17  18  19  20  21  22  23  24  25  26  27  28  29  30  31  32  33  34  35  36  37  38  39  40  41  42  43  44  45  46  47  48  49  50  51  52  53  54  55  56  57  58  59  60  61  62  63  64  65  66  67  68  69  70  71  72  73  74  75  76  77  78  79  80  81  82  83  84  85  86  87  88  89  90  91  92  93  94  95  96  97  98  99  100  101  102  103  104  105  106  107  108  109  110  111  112  113  114  115  116  117  118  119  120  121  122  123  124  125  126  127  128  129  130  131  132  133  134  135  136  137  138  139  140  141  142  143  144  145  146  147  148  149  150  151  152  153  154  155  156  157  158  159  160  161  162  163  164  165  166  167  168  169  170  171  172  173  174  175  176  177  178  179  180  181  182  183  184  185  186  187  188  189  190  191  192  193  194  195  196  197  198  199  200  201  202  203  204  205  206  207  208  209  210  211  212  213  214  215  216  217  218  219  220  221  222  223  224  225  226  227  228  229  230  231  232  233  234  235  236  237  238  239  240  241  242  243  244  245  246  247  248  249  250  251  252  253  254  255  256  257  258  259  260  261  262  263  264  265  266  267  268  269  270  271  272  273  274  275  276  277  278  279  280  281 

m=1       n=1 m,n=1

(х; у) Є P.

(п — х)(п у)             п2         п £ ( 1)m

16.     -        -              =    +     ->   -  sin тх +

4                          4         2^ т

п £ ( 1)n.            £            ( 1)m+n  . .

> ------ sin пу +   у ---------- sin тх sin пу, (х; у) Є P.

2          п                                             тп

n=1 m,n=1

х(п у)2         2п £ ( 1)m+1

17.        —     —                     =            — >      sin птх +

4                                  3 ^ т

m=1

-           ( 1)m+n+1

  у----------------- sin птх cos ппу, (х; у) Є P.

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

457Розділ 14 Диференціальні рівняння

 

§1. Основні поняття про диференціальні рівняння

При розв'язуванні багатьох прикладних задач i вивченні закономірностей суспільних процєсів одержують математичні модєлі, в основі яких лежать диференціальні рівняння. Ди­ференціальним називається рівняння, яке зв'язує незалежну змінну або змінні, шукану функцію та похідні різних поряд­ків від цієї функції. При цьому рівняння може не містити у явному вигляді незалежну змінну (змінні) і шукану функцію, але обов'язково повинно містити одну або декілька похідних шуканої функції.

Якщо шукана функція залежить від однієї змінної, то ди­ференціальне рівняння називається звичайним, якщо ж від декількох - рівнянням з частинними похідними. Ми роз­глядатимемо тут тільки звичайні диференціальні рівняння.

У загальному випадку диференціальне рівняння можна за­писати у вигляді

F (х,у,у',...,у(п))=0, (1)

де F - деяка функція від п + 2 змінних, п Є N. Порядок п старшої похідної, яка входить в (1) називається порядком диференціального рівняння. Наприклад, рівняння у' = 3х2, у— = 0 - першого порядку; рівняння у"+ш2у = 0, у''—х2 = у - другого порядку; рівняння у(4) + у'' ln х = х - четвертого по­рядку.

Розв'язком диференціального рівняння (1) нази­вається функція у = (р(х), яка визначена і неперервна разом зі своїми похідними до порядку рівняння на проміжку X і така, що при підстановці її в рівняння перетворює його в тотожність

F(х,ір(х),ір'(х),...,ір(п)(х)) =0,    х Є X.

Задача про знаходження розв'язку диференціального рів­няння називається задачею інтегрування диференціального

 

45рівняння. Графік розв'язку диференціального рівняння нази­вається інтегральною кривою або інтегральною лінією. Приклад 1. Розв'язати рівняння у' = х2.

А Розв'язати це рівняння означає, що треба знайти функцію у, похідна якої дорівнює х2. З інтегрального числення відомо, що такою

функцією є у = + С, де С Є R.

З прикладу 1 видно, що розв'язок рівняння визначається неоднозначно, тобто диференціальне рівняння визначає сім'ю інтегральних ліній на площині. Для виділення конкретно­го розв'язку треба задати додаткову умову. Цією умовою є у(хо) = уо, або умова того, що інтегральна лінія проходить через задану точку о;уо).

Загальним розв'язком диференціального рівняння (1) п-го порядку називається такий його розв'язок

 

у = <р(х,Сі,...,Сп), (2)

який є функцією змінної х і п довільних незалежних сталих Сі, С2, ..Сп, тобто сталих, що не зв'язані між собою жодними співвідношеннями.

Частинним розв'язком диференціального рівняння на­зивається розв'язок, який одержується із загального розв'язку при деяких конкретних числових значеннях сталих Сі, С2, ..

 

У наступних параграфах ми уточнимо поняття загального і частинного розв'язків диференціального рівняння, а також наведемо приклади математичних моделей деяких явищ, які описуються диференціальними рівняннями.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

459§2. Диференціальні рівняння першого порядку

Диференціальне рівняння першого порядку зв'язує незалежну змінну, шукану функцію та її першу похідну. В за­гальному випадку його можна записати у вигляді

F (х,у,у' ) = 0, (3)

де х - незалежна змінна, у - шукана функція, у' - її похідна, а F - відома функція своїх аргументів.

Рівняння (3) може не містити у явному вигляді х і у, але обов'язково містить у'.

Страницы:
1  2  3  4  5  6  7  8  9  10  11  12  13  14  15  16  17  18  19  20  21  22  23  24  25  26  27  28  29  30  31  32  33  34  35  36  37  38  39  40  41  42  43  44  45  46  47  48  49  50  51  52  53  54  55  56  57  58  59  60  61  62  63  64  65  66  67  68  69  70  71  72  73  74  75  76  77  78  79  80  81  82  83  84  85  86  87  88  89  90  91  92  93  94  95  96  97  98  99  100  101  102  103  104  105  106  107  108  109  110  111  112  113  114  115  116  117  118  119  120  121  122  123  124  125  126  127  128  129  130  131  132  133  134  135  136  137  138  139  140  141  142  143  144  145  146  147  148  149  150  151  152  153  154  155  156  157  158  159  160  161  162  163  164  165  166  167  168  169  170  171  172  173  174  175  176  177  178  179  180  181  182  183  184  185  186  187  188  189  190  191  192  193  194  195  196  197  198  199  200  201  202  203  204  205  206  207  208  209  210  211  212  213  214  215  216  217  218  219  220  221  222  223  224  225  226  227  228  229  230  231  232  233  234  235  236  237  238  239  240  241  242  243  244  245  246  247  248  249  250  251  252  253  254  255  256  257  258  259  260  261  262  263  264  265  266  267  268  269  270  271  272  273  274  275  276  277  278  279  280  281 


Похожие статьи

В П Лавринчук - Вища математика загальний курс частина 2 математичний аналіз і диференціальні рівняння