В П Лавринчук - Вища математика загальний курс частина 2 математичний аналіз і диференціальні рівняння - страница 237

Страницы:
1  2  3  4  5  6  7  8  9  10  11  12  13  14  15  16  17  18  19  20  21  22  23  24  25  26  27  28  29  30  31  32  33  34  35  36  37  38  39  40  41  42  43  44  45  46  47  48  49  50  51  52  53  54  55  56  57  58  59  60  61  62  63  64  65  66  67  68  69  70  71  72  73  74  75  76  77  78  79  80  81  82  83  84  85  86  87  88  89  90  91  92  93  94  95  96  97  98  99  100  101  102  103  104  105  106  107  108  109  110  111  112  113  114  115  116  117  118  119  120  121  122  123  124  125  126  127  128  129  130  131  132  133  134  135  136  137  138  139  140  141  142  143  144  145  146  147  148  149  150  151  152  153  154  155  156  157  158  159  160  161  162  163  164  165  166  167  168  169  170  171  172  173  174  175  176  177  178  179  180  181  182  183  184  185  186  187  188  189  190  191  192  193  194  195  196  197  198  199  200  201  202  203  204  205  206  207  208  209  210  211  212  213  214  215  216  217  218  219  220  221  222  223  224  225  226  227  228  229  230  231  232  233  234  235  236  237  238  239  240  241  242  243  244  245  246  247  248  249  250  251  252  253  254  255  256  257  258  259  260  261  262  263  264  265  266  267  268  269  270  271  272  273  274  275  276  277  278  279  280  281 

Розв'язуючи рівняння (3), якщо це можливо, відносно у', дістанемо

у' = f (х,у). (4)

Рівняння (4) називається рівнянням першого порядку, розв'язаним відносно похідної.

Розв'язком диференціального рівняння першого порядку називається функція у = (р(х), яка неперервна разом із своєю похідною на проміжку X і при підстановці її в рівняння, пере­творює його в тотожність, тобто

F(х,<р(х),<р'(х)) = 0,   х Є X.

Як випливає з прикладу 1 з §1, сукупність розв'язків дифе­ренціального рівняння першого порядку містить довільну ста­лу, змінюючи яку ми одержуватимемо різні розв'язки рівнян­ня. Для виділення з цієї множини конкретного розв'язку треба задати деяку додаткову умову, а саме:

у(х0) = у0    аб°    у(х)\х=хо = у0, (5)

яка називається початковою умовою.

В теорії диференціальних рівнянь основними є питання іс­нування та єдиності розв'язку. Відповідь на нього дає теорема Коші, яка наведена нижче.

Теорема (теорема Коші). Якщо права частина f рів­няння (4) та її частинна похідна визначені й неперервні

 

46у деякій області Q зміни х i у, то задача (4), (5) має єдиний розв'язок у = <р(х), якщо о;уо) Є Єї.

Геометрично це означає, що через кожну внутрішню точку о; уо) області Q проходить єдина інтегральна крива.

Задача (4), (5), тобто задача, у якій треба знайти розв'язок рівняння (4), що задовольняє початкову умову (5), називається задачею Коші.

Якщо умови теореми Коші не виконуються у деяких точках (х; у), то ці точки називаються особливими точками дифе­ренціального рівняння. У цих точках є розривною або функ­ція f або її частинна похідна . Через кожну таку точку мо­ду

же проходити декілька інтегральних кривих, або не проходити жодна.

Дамо означення загального й частинного розв'язків рівнян­ня (4), права частина f якого задовольняє у деякій області Q умови теореми Коші.

Функція у = (р(х, С) називається загальним розв'язком рівняння (4) в області Q, якщо вона задовольняє умови:

1)  при будь-яких значеннях сталої C, які належать деякій множині, функція у = ір(х,С) є розв'язком рівняння (4);

2)  яка б не була точка о; уо) Є Є існує єдине значення сталої С = Со таке, що розв'язок у = ір(х, Со) задовольняє початкову умову (5).

Значення С = Со знаходиться з умови уо = (р(хо, Со).

Будь-який розв'язок у = ір(х,Со) рівняння (4), який одер­жується із загального розв'зку у = (р(х, С) при конкретному значення С = Со, називається частинним розв'язком.

Якщо загальний розв'язок диференціального рівняння знайдено у вигляді, не розв'язаному відносно у, тобто у вигляді Ф(х,у,С) = 0, то він називається загальним інтегралом ди­ференціального рівняння.

Перейдемо тепер до розгляду методів розв'язування ди­ференціальних рівнянь першого порядку. Взагалі кажучи, не існує єдиного методу знаходження розв'язків рівняння (4) для довільної правої частини f. Тому ми розглянемо методи розв'язування (методи інтегрування) цього рівняння лише у

 

46деяких частинних випадках.

2.1. Рівняння з відокремлюваними змінними та звідні до них. Диференціальне рівняння першого порядку називається рівнянням з відокремлюваними змінними,

якщо його можна подати у вигляді

Vі = fi(x)f2(y). (6)

Права частина рівняння (6) є добутком двох множників, кожний з яких є функцією тільки одного аргументу. Перепишемо рівняння (6) у вигляді

 

 

 

Помножимо обидві частини (7) на dx і поділимо на /2(у) = 0, тоді одержимо

/dVy-)= /i(x)dx. (8)

У цьому рівнянні змінна x входить в праву частину, а змінна у - тільки в ліву, тобто змінні відокремлені.

Припустимо, що ми знайшли розв'язок y(x) рівняння (7). Якщо цю функцію підставити в (8), то ми одержимо тотож­ність, де два диференціали дорівнюють один другому, тільки в правій частині диференціал виражений через x, а в лівій -через у. Оскільки диференціали однакові, то їхні невизначені інтеграли відрізняються на сталу величину, тобто, інтегруючи зліва по змінній у, а справа по змінній x, дістанемо

/ш=//i(x)dx+C (9)

де C - довільна стала.

Вираз (9) є загальним інтегралом рівняння (6). У дифе­ренціальних рівняннях символ невизначеного інтеграла озна­чає одну із первісних, а не сукупність усіх первісних.

Очевидно, що коли неперервна на [a; b], а /2 - неперервна на [c; d] і /2(у) =0, у Є [c; d], то інтеграли у формулі (9) існують.

 

46Зауваження. При діленні обох частин рівняння (6) на /2(^)) ми могли втратити розв'язки, при яких /2(2/) = 0. Справ­ді, якщо /2(2/0) = 0, то у = yo є розв'язком рівняння (6).

У

Приклад 1. Розв'язати рівняння у' = —.

x

< Запишемо рівняння у вигляді

dy = у

 

i відокремимо змінні

dy dx У       x '

Інтегруючи обидві частини цього рівняння (праву по x, а ліву по у), одержуємо

Страницы:
1  2  3  4  5  6  7  8  9  10  11  12  13  14  15  16  17  18  19  20  21  22  23  24  25  26  27  28  29  30  31  32  33  34  35  36  37  38  39  40  41  42  43  44  45  46  47  48  49  50  51  52  53  54  55  56  57  58  59  60  61  62  63  64  65  66  67  68  69  70  71  72  73  74  75  76  77  78  79  80  81  82  83  84  85  86  87  88  89  90  91  92  93  94  95  96  97  98  99  100  101  102  103  104  105  106  107  108  109  110  111  112  113  114  115  116  117  118  119  120  121  122  123  124  125  126  127  128  129  130  131  132  133  134  135  136  137  138  139  140  141  142  143  144  145  146  147  148  149  150  151  152  153  154  155  156  157  158  159  160  161  162  163  164  165  166  167  168  169  170  171  172  173  174  175  176  177  178  179  180  181  182  183  184  185  186  187  188  189  190  191  192  193  194  195  196  197  198  199  200  201  202  203  204  205  206  207  208  209  210  211  212  213  214  215  216  217  218  219  220  221  222  223  224  225  226  227  228  229  230  231  232  233  234  235  236  237  238  239  240  241  242  243  244  245  246  247  248  249  250  251  252  253  254  255  256  257  258  259  260  261  262  263  264  265  266  267  268  269  270  271  272  273  274  275  276  277  278  279  280  281 


Похожие статьи

В П Лавринчук - Вища математика загальний курс частина 2 математичний аналіз і диференціальні рівняння