В П Лавринчук - Вища математика загальний курс частина 2 математичний аналіз і диференціальні рівняння - страница 238

Страницы:
1  2  3  4  5  6  7  8  9  10  11  12  13  14  15  16  17  18  19  20  21  22  23  24  25  26  27  28  29  30  31  32  33  34  35  36  37  38  39  40  41  42  43  44  45  46  47  48  49  50  51  52  53  54  55  56  57  58  59  60  61  62  63  64  65  66  67  68  69  70  71  72  73  74  75  76  77  78  79  80  81  82  83  84  85  86  87  88  89  90  91  92  93  94  95  96  97  98  99  100  101  102  103  104  105  106  107  108  109  110  111  112  113  114  115  116  117  118  119  120  121  122  123  124  125  126  127  128  129  130  131  132  133  134  135  136  137  138  139  140  141  142  143  144  145  146  147  148  149  150  151  152  153  154  155  156  157  158  159  160  161  162  163  164  165  166  167  168  169  170  171  172  173  174  175  176  177  178  179  180  181  182  183  184  185  186  187  188  189  190  191  192  193  194  195  196  197  198  199  200  201  202  203  204  205  206  207  208  209  210  211  212  213  214  215  216  217  218  219  220  221  222  223  224  225  226  227  228  229  230  231  232  233  234  235  236  237  238  239  240  241  242  243  244  245  246  247  248  249  250  251  252  253  254  255  256  257  258  259  260  261  262  263  264  265  266  267  268  269  270  271  272  273  274  275  276  277  278  279  280  281 

/     = I     +1п Id,    Ci =0,

yx

або

1п \у\ =1п \x\ +1п \Ci\. Потенціюючи, отримуємо

\У\ = \Ci\\x\,

що еквівалентне рівності у = ±C\x. Покладаючи ±Ci = C, остаточ­но матимемо

у = Cx,    C = 0.

Це сукупність розв'язків заданого рівняння, але тут не містить­ся розв'язок у = 0, який ми втратили при відокремленні змінних. Його можна включити в одержану сукупність, якщо вважати, що C набуває також значення C = 0. Тоді загальним розв'язком рівняння є у = Cx, де C Є R.

Приклад 2. Тіло охололо за 10 хв. від 100° до 60°. Температура оточуючого середовища стала і дорівнює 10°. Знайти, через скільки хвилин температура тіла дорівнюватиме 20°.

Позначимо через /(t) температуру тіла в момент часу t, тоді

.          •                               •         d/ (t)   О   . .

швидкість зміни температури дорівнює —-—. Оскільки швидкість

dt

охолодження пропорційна різниці температур тіла й оточуючого се­редовища, то дістанемо рівняння

І=k(/ -10)-

4де k - коефіцієнт пропорційності. Отже, маємо диференціальне рів­няння першого порядку з відокремлюваними змінними. Відокремивши змінні, отримаємо рівність

    / = kdt.

/ -10

Інтегруючи, дістаємо:

1п\/ - 10\ = kt + 1п \C1\,    C1 =0,

\/ - 10\ = C1ekt,    / - 10 = ±Clekt.

Якщо позначити ±Ci через C, то одержимо загальний розв'язок рівняння

/ = 10 + Cekt,   де C Є R.

Тут ми включили і C = 0, оскільки / = 10 є розв'язком рівняння.

Для виділення частинного розв'язку скористаємося початковою умовою /(0) = 100°, тоді Cek° + 10 = 100, звідки C = 90. Отже, частинним розв'язком є функція

/ (t) = 10 + 90ekt.

Цей розв'язок містить невідомий множник k. Для його визначен­ня скористаємося тим, що /(10) = 60°. Тоді 60 = 10 + 90ekt, звідки

1°k    5     /~v               « 1

e     = —. Отже, шуканий розв'язок рівняння має вигляд
/(t) = 90 (e1^)10 + 10 = 90


+ 10.Для відповіді на питання, через який час тіло охолоне до 20°, дістанемо рівняння

20 = 90 (9) 10 + 10,

або

/5\ 10 = 1 \9)    =9.

Прологарифмувавши, одержимо

t       101g9    ^074 ^

t =            — ~ 37, 4 хв.

1g9 - 1g5 '

 

46Приклад 3. Скласти математичну модель природного росту випуску продукції і знайти функцію, що описує цей ріст.

Нехай деяка продукція продається за фіксованою ціною p. По­значимо через /(t) кількість продукції, реалізованої на момент часу t. Тоді на цей момент матимемо доход, що дорівнює p/(t). Нехай частина вказаного доходу витрачається на інвестиції у виробництво реалізованої продукції, тобто

I (t) = mp/(t), (10)

де m - норма інвестицій, 0 < m < 1.

Якщо припустити, що ринок не насичений, тобто продукція ре­алізується повністю, то в результаті розширення виробництва бу­де одержано доход, частина якого знову використовуватиметься для розширення випуску продукції. Це приведе до зростання швидко­сті випуску (акселерації), причому швидкість випуску пропорційна збільшенню інвестицій, тобто

/'(t) = II (t), (11)

 

де у - норма акселерації. Підставивши (11) у (10), дістанемо

/ '(t) = к/(t), (12)

де к = Imp. Отже, процес природного росту випуску продукції опи­сується диференціальним рівнянням (12), яке є рівнянням з відо­кремлюваними змінними.

Оскільки в початковий момент часу випуск продукції дорів­нював /°, то маємо початкову умову

/ (t°) = /°. (13)

Задача (12), (13) є математичною моделлю природного росту ви­пуску продукції.

Знайдемо загальний розв'язок рівняння (12), відокремивши змін­ні та проінтегрувавши одержану рівність:

 

-j- = kdt,

jdj = k j dt + 1п\Ci\,   Ci =0, 1п\/\ = kt + 1п \Ci\,    /(t)= ±C\ekt.

465Включивши сюди розв'язок = 0, дістанемо загальний розв'язок рівняння

/(t) = Cekt,   C Є R. (14)

Якщо задовольнити цієї функцією умову (13), то одержимо рів­няння для знаходження C:

= Cekt0,   звідки C = /°e-kto.

Страницы:
1  2  3  4  5  6  7  8  9  10  11  12  13  14  15  16  17  18  19  20  21  22  23  24  25  26  27  28  29  30  31  32  33  34  35  36  37  38  39  40  41  42  43  44  45  46  47  48  49  50  51  52  53  54  55  56  57  58  59  60  61  62  63  64  65  66  67  68  69  70  71  72  73  74  75  76  77  78  79  80  81  82  83  84  85  86  87  88  89  90  91  92  93  94  95  96  97  98  99  100  101  102  103  104  105  106  107  108  109  110  111  112  113  114  115  116  117  118  119  120  121  122  123  124  125  126  127  128  129  130  131  132  133  134  135  136  137  138  139  140  141  142  143  144  145  146  147  148  149  150  151  152  153  154  155  156  157  158  159  160  161  162  163  164  165  166  167  168  169  170  171  172  173  174  175  176  177  178  179  180  181  182  183  184  185  186  187  188  189  190  191  192  193  194  195  196  197  198  199  200  201  202  203  204  205  206  207  208  209  210  211  212  213  214  215  216  217  218  219  220  221  222  223  224  225  226  227  228  229  230  231  232  233  234  235  236  237  238  239  240  241  242  243  244  245  246  247  248  249  250  251  252  253  254  255  256  257  258  259  260  261  262  263  264  265  266  267  268  269  270  271  272  273  274  275  276  277  278  279  280  281 


Похожие статьи

В П Лавринчук - Вища математика загальний курс частина 2 математичний аналіз і диференціальні рівняння