В П Лавринчук - Вища математика загальний курс частина 2 математичний аналіз і диференціальні рівняння - страница 240

Страницы:
1  2  3  4  5  6  7  8  9  10  11  12  13  14  15  16  17  18  19  20  21  22  23  24  25  26  27  28  29  30  31  32  33  34  35  36  37  38  39  40  41  42  43  44  45  46  47  48  49  50  51  52  53  54  55  56  57  58  59  60  61  62  63  64  65  66  67  68  69  70  71  72  73  74  75  76  77  78  79  80  81  82  83  84  85  86  87  88  89  90  91  92  93  94  95  96  97  98  99  100  101  102  103  104  105  106  107  108  109  110  111  112  113  114  115  116  117  118  119  120  121  122  123  124  125  126  127  128  129  130  131  132  133  134  135  136  137  138  139  140  141  142  143  144  145  146  147  148  149  150  151  152  153  154  155  156  157  158  159  160  161  162  163  164  165  166  167  168  169  170  171  172  173  174  175  176  177  178  179  180  181  182  183  184  185  186  187  188  189  190  191  192  193  194  195  196  197  198  199  200  201  202  203  204  205  206  207  208  209  210  211  212  213  214  215  216  217  218  219  220  221  222  223  224  225  226  227  228  229  230  231  232  233  234  235  236  237  238  239  240  241  242  243  244  245  246  247  248  249  250  251  252  253  254  255  256  257  258  259  260  261  262  263  264  265  266  267  268  269  270  271  272  273  274  275  276  277  278  279  280  281 

Оскільки, відокремлюючи змінні, ми втратили розв'язок у = 0, то сукупність усіх розв'язків рівняння (20) має вигляд

у = Ыp(x)dx,    C Є R. (21)

 

46Для знаходження загального розв'язку лінійного неодно­рідного рівняння (19) у формулі (21) замість сталої C візьмемо деяку диференційовну функцію z(x):у = z(x)eJ p(x)dx.Очевидно, що (22) буде розв'язком рівняння (19), коли

z' (x)e* p(x)dx + z(x)e) p(x)dxp(x) = p(x)z(x)e* p(x)dx + q(x),

 

або

z'(x) = q(x)e~f p(x)dx.

Звідси, проінтегрувавши, дістанемо

z(x) = j q(x)e~-l'p(x)dxdx + C2,    C2 Є R.

Якщо підставити знайдену функцію z в (22), то одержимо загальний розв'язок лінійного неоднорідного рівняння

у = C2e$ p(x)dx + q(x)e~$p(x)dxdx^J e) p(x)dx,   C2 Є R. (23)

З формули (23) випливає, що загальний розв'язок ліній­ного неоднорідного рівняння є сумою загального розв'язку p(x)dx відповідного лінійного однорідного рівняння (20)

і частинного розв'язку  ^ j q(x)e— p(x)dx^ &! p(x)dx лінійного

неоднорідного рівняння (19).

Приклад 5. Розв'язати рівняння

 

 

Розв'яжемо спочатку відповідне лінійне однорідне рівняння

 

у + 3y = 0.

Відокремлюючи змінні та інтегруючи, дістаємо:

dyy = —3dx,     [ dyy = —ЗІ dx + ln \ C1 \,    C =0,

уу

469ln | у | = —3x + ln | Ci | ,   у = Cxe-3x.

Оскільки ми, відокремлюючи змінні, ділили на у, то щоб не втра­тити розв'язок у = 0, вважатимемо, що C\ може дорівнювати нулю, тобто

у = Ce-3x,    C Є R. Шукатимемо загальний розв'язок вихідного рівняння у вигляді

у = z(x)e-3x.

Після підстановки цієї функції в рівняння, одержимо

z'(x)e-3x z(x)e-3x3 + 3z(x)e-3x = e2x,

або z'(x) = e5x.

Звідси випливає, що

z(x) = 1 e5x + C2. Отже, загальний розв'язок нашого рівняння

у = C2e~3x + 1 e2x,   C2 Є R. 5

До лінійного рівняння зводиться рівняння вигляду

 

у' = p(x)y + q(x)ya,   а Є R \{0;1], (24)

яке називається рівнянням Бернулль

Якщо а = 0, то рівняння Бернуллі перетворюється у лінійне рівняння (19), а при а = 1 воно переходить в рівняння з відо­кремлюваними змінними.

Вважаючи, що у = 0, а = 0, а = 1, поділимо обидві частини рівняння (24) на уа. Тоді дістанемо рівняння

у-ау' = p(x)yl~a + q(x). (25)

Зробимо підстановку z(x) = у1~а. Оскільки z'(x) = (1 а)у~ау', то рівняння (25) набуде вигляду

z'(x) = (1 а)p(x)z(x) + (1 а)q(x), 47а це означає, що рівняння (24) зведено до лінійного рівняння. Приклад 6. Розв'язати рівняння

xy'(x) = y(x)+ y2(x).

-   Запишемо рівняння у вигляді

y'(x) = x y(x) + x y2(x).

 

Це рівняння Бернуллі, де а = 2. Тому зробимо заміну z = . 1 у

Тоді z' =-- 2у', а отже, рівняння набуде вигляду

у2

 

z' + x = x;

z

Відповідне однорідне рівняння z' += 0 має розв'язок z(x) =

Страницы:
1  2  3  4  5  6  7  8  9  10  11  12  13  14  15  16  17  18  19  20  21  22  23  24  25  26  27  28  29  30  31  32  33  34  35  36  37  38  39  40  41  42  43  44  45  46  47  48  49  50  51  52  53  54  55  56  57  58  59  60  61  62  63  64  65  66  67  68  69  70  71  72  73  74  75  76  77  78  79  80  81  82  83  84  85  86  87  88  89  90  91  92  93  94  95  96  97  98  99  100  101  102  103  104  105  106  107  108  109  110  111  112  113  114  115  116  117  118  119  120  121  122  123  124  125  126  127  128  129  130  131  132  133  134  135  136  137  138  139  140  141  142  143  144  145  146  147  148  149  150  151  152  153  154  155  156  157  158  159  160  161  162  163  164  165  166  167  168  169  170  171  172  173  174  175  176  177  178  179  180  181  182  183  184  185  186  187  188  189  190  191  192  193  194  195  196  197  198  199  200  201  202  203  204  205  206  207  208  209  210  211  212  213  214  215  216  217  218  219  220  221  222  223  224  225  226  227  228  229  230  231  232  233  234  235  236  237  238  239  240  241  242  243  244  245  246  247  248  249  250  251  252  253  254  255  256  257  258  259  260  261  262  263  264  265  266  267  268  269  270  271  272  273  274  275  276  277  278  279  280  281 


Похожие статьи

В П Лавринчук - Вища математика загальний курс частина 2 математичний аналіз і диференціальні рівняння