В П Лавринчук - Вища математика загальний курс частина 2 математичний аналіз і диференціальні рівняння - страница 243

Страницы:
1  2  3  4  5  6  7  8  9  10  11  12  13  14  15  16  17  18  19  20  21  22  23  24  25  26  27  28  29  30  31  32  33  34  35  36  37  38  39  40  41  42  43  44  45  46  47  48  49  50  51  52  53  54  55  56  57  58  59  60  61  62  63  64  65  66  67  68  69  70  71  72  73  74  75  76  77  78  79  80  81  82  83  84  85  86  87  88  89  90  91  92  93  94  95  96  97  98  99  100  101  102  103  104  105  106  107  108  109  110  111  112  113  114  115  116  117  118  119  120  121  122  123  124  125  126  127  128  129  130  131  132  133  134  135  136  137  138  139  140  141  142  143  144  145  146  147  148  149  150  151  152  153  154  155  156  157  158  159  160  161  162  163  164  165  166  167  168  169  170  171  172  173  174  175  176  177  178  179  180  181  182  183  184  185  186  187  188  189  190  191  192  193  194  195  196  197  198  199  200  201  202  203  204  205  206  207  208  209  210  211  212  213  214  215  216  217  218  219  220  221  222  223  224  225  226  227  228  229  230  231  232  233  234  235  236  237  238  239  240  241  242  243  244  245  246  247  248  249  250  251  252  253  254  255  256  257  258  259  260  261  262  263  264  265  266  267  268  269  270  271  272  273  274  275  276  277  278  279  280  281 

x2 + y2                                     x2 + y2

1      2      2 x3

Проінтегрувавши останнє рівняння, одержимо, ^ 1n(x + y ) + = In C\, C\ > 0. Після множення на 2 і потенціювання, матимемо

(x2 + y2)e2xX = C,    C> 0.

 

Звичайно, не завжди інтегрувальний множник підбираєть­ся легко. У загальному випадку для знаходження інтегруваль­ного множника треба підібрати принаймні один ненульовий ча­стинний розв'язок рівняння з частинними похідними

d(fP) = d(fQ) y x

475а7Гр + Г = 9irQ + ^

яке після ділення на " i перенесення деяких доданків у другий бік рівності приводиться до вигляду

9ln     9 In "q    9Q 9P
9y               9x            9x
     9y'

Якщо наперед відомо, що " = "(и), де и - задана функція від x і у, то це рівняння зводиться до звичайного диференціаль­ного рівняння

dQ _ dP

d ln" =     dx       dy (28)

dx dy

якщо ліва частина є функцією від и. Приклад 9. Проінтегрувати рівняння

xdx + ydy + xdy ydx = 0'

якщо відомо, що існує інтегрувальний множник вигляду " = "(x2 +

 

9P 9Q

< Маємо P(х' y) = x y, Q(x' y) = x + y,             — = —1 1 =

y x

—2. Отже, рівняння не є рівнянням у повних диференціалах. Якщо

и = x2 + y2, то Q9--- P— = (x + y)2x (x y)2y = 2(x2 + y2), а

x y

тому права частина рівняння (28) є функцією від и = x2 + y2:

 

dx       dy                     2           1

Q   P % = 2(x2 + y2) = и

Отже, для визначення інтегрувального множника маємо диферен­ціальне рівняння

d ln " 1

du и

Звідси, проінтегрувавши і взявши за сталу інтегрування C = 1, одержимо

ln " =    ln и

або

11

и     x2 + y2

476Помноживши вихідне рівняння на /х, зведемо його до вигляду

xdx + ydy     xdy ydx ^
x2 + y2         x2 + y2

або

x2 + y2        x2 + y2

1 y -dln(x2 + y2) + darctg - = 0.

1 d(x2 + y2) d

+--- = 0

22

2V         1    f    /     '           ~~o

x

Тнтегруючи, дістаємо

ln \Jx2 + y2 = arctg y + ln C.

 

Після потенціювання матимемо

л/x2 + y2 = Ce~ arctg X,    C> 0. ►

 

 

2.4. Особливі розв'язки. Згідно з теоремою Коші, як­що права частина рівняння y' = f (x, y) неперервна у деякій області Q i має в ній неперервну похідну f'y(x, y), то через кож­ну внутрішню точку (xo; yo) області Q проходить єдина інте­гральна крива. Умови теореми Коші можуть не виконуватися в точках, які лежать на межі області Q. Такі точки, де не ви­конуються умови теореми Коші, як було відзначено раніше, називаються особливими. Якщо Mo(xo; yo) - особлива точка то може трапитись, що через неї або не проходить жодна інте­гральна крива, або проходить декілька інтегральних кривих.

Страницы:
1  2  3  4  5  6  7  8  9  10  11  12  13  14  15  16  17  18  19  20  21  22  23  24  25  26  27  28  29  30  31  32  33  34  35  36  37  38  39  40  41  42  43  44  45  46  47  48  49  50  51  52  53  54  55  56  57  58  59  60  61  62  63  64  65  66  67  68  69  70  71  72  73  74  75  76  77  78  79  80  81  82  83  84  85  86  87  88  89  90  91  92  93  94  95  96  97  98  99  100  101  102  103  104  105  106  107  108  109  110  111  112  113  114  115  116  117  118  119  120  121  122  123  124  125  126  127  128  129  130  131  132  133  134  135  136  137  138  139  140  141  142  143  144  145  146  147  148  149  150  151  152  153  154  155  156  157  158  159  160  161  162  163  164  165  166  167  168  169  170  171  172  173  174  175  176  177  178  179  180  181  182  183  184  185  186  187  188  189  190  191  192  193  194  195  196  197  198  199  200  201  202  203  204  205  206  207  208  209  210  211  212  213  214  215  216  217  218  219  220  221  222  223  224  225  226  227  228  229  230  231  232  233  234  235  236  237  238  239  240  241  242  243  244  245  246  247  248  249  250  251  252  253  254  255  256  257  258  259  260  261  262  263  264  265  266  267  268  269  270  271  272  273  274  275  276  277  278  279  280  281 


Похожие статьи

В П Лавринчук - Вища математика загальний курс частина 2 математичний аналіз і диференціальні рівняння