В П Лавринчук - Вища математика загальний курс частина 2 математичний аналіз і диференціальні рівняння - страница 244

Страницы:
1  2  3  4  5  6  7  8  9  10  11  12  13  14  15  16  17  18  19  20  21  22  23  24  25  26  27  28  29  30  31  32  33  34  35  36  37  38  39  40  41  42  43  44  45  46  47  48  49  50  51  52  53  54  55  56  57  58  59  60  61  62  63  64  65  66  67  68  69  70  71  72  73  74  75  76  77  78  79  80  81  82  83  84  85  86  87  88  89  90  91  92  93  94  95  96  97  98  99  100  101  102  103  104  105  106  107  108  109  110  111  112  113  114  115  116  117  118  119  120  121  122  123  124  125  126  127  128  129  130  131  132  133  134  135  136  137  138  139  140  141  142  143  144  145  146  147  148  149  150  151  152  153  154  155  156  157  158  159  160  161  162  163  164  165  166  167  168  169  170  171  172  173  174  175  176  177  178  179  180  181  182  183  184  185  186  187  188  189  190  191  192  193  194  195  196  197  198  199  200  201  202  203  204  205  206  207  208  209  210  211  212  213  214  215  216  217  218  219  220  221  222  223  224  225  226  227  228  229  230  231  232  233  234  235  236  237  238  239  240  241  242  243  244  245  246  247  248  249  250  251  252  253  254  255  256  257  258  259  260  261  262  263  264  265  266  267  268  269  270  271  272  273  274  275  276  277  278  279  280  281 

Якщо графік функції y = p(x) складається тільки з особ­ливих точок рівняння, то функція р є особливим розв'язком цього рівняння.

Умови теореми Коші є достатніми для того, щоб в дея­кій області Q не існувало особливого розв'язку. Тому для іс­нування особливого розв'язку необхідно, щоб не виконувалися умови теореми Коші. Отже, для того щоб знайти особливий розв'язок диференціального рівняння y' = f (x,y), треба знай­ти функцію y = p(x), в кожнш точщ графжа якої має розрив

 

477або f, або f'y і перевірити чи є функція р розв'язком цього рів­няння. Якщо функція y = p(x) є розв'язком диференціального рівняння, то вона й буде особливим розв'язком.

Приклад 10. Чи має рівняння y' = y2 + x2 особливий розв'язок?

< Маємо f (x,y) = y2 + x2, f'y = 2y. Ці функції неперервні в будь-якій області Q С R2, а це означає, що умови теореми Коші виконуються, і отже, особливого розв'язку рівняння не має.^

Приклад 11. Знайти особливий розв'язок рівняння y' = y/y2.

Права частина цього рівняння f (x,y) = '{fy2 неперервна при

2

всіх значеннях y, але похідна f ' (x, y) =              має розрив при y = 0,

3 3yy

тобто в точках осі Ox. Отже, кожна точка прямої y = 0 є особливою. Оскільки y = 0 є розв'язком заданого рівняння, то це - особливий розв'язок.

(x + C )3 27

Знайдемо загальний розв'язок рівняння. Відокремивши змінні та проінтегрувавши рівність y-2/3dy = dx, дістанемо загальний розв'язок

3y1/3 = x + C   або y

Сім'я інтегральних ліній, які відповідають знайденому загально­му розв'язку, складається з кубічних парабол. Оскільки через кожну точку особливого розв'язку y = 0 (вісь Ox) проходить ще одна інте­гральна крива цього розв'язку, тобто кубічна парабола, то в кожній точці осі Ox порушується властивість єдиності.^

Слід відзначити, що особливий розв'язок, взагалі кажучи, не міститься у загальному розв'язку і не може бути виділе­ний з нього при жодному конкретному значенні сталої C.

Приклад 12. Чи має рівняння y' = {fy2 + 1 особливий розв'язок?

 

47А Як і в попередньому прикладі, множиною всіх особливих точок рівняння є пряма y = 0 (вісь Ox). Легко можна переконатися, що функція y = 0 не є розв'язком рівняння. Тому це рівняння не має особливих розв'язків.

2.5. Застосування диференціальних рівнянь в природознавстві. У цьому пункті наведемо деякі застосу­вання диференціальних рівнянь в природознавстві, доповню­ючи наведені вище приклади використання таких рівнянь у фізиці й економіці. Ряд прикладів цього пункту запозичено з підручника [3].

Приклад 13 (внутрішньовенне харчування глюко­зою). Нехай x(t) - кількість глюкози в крові пацієнта в момент часу t. Вважатимемо, що глюкоза поступає в кров зі сталою швид­кістю a (г/хв). У той же час глюкоза розкладається і виводиться із кровоносної системи зі швидкістю, що пропорційна наявній кількості глюкози. Скласти математичну модель задачі і розв'язати її, якщо x(0) = xo.

А Оскільки, згідно з умовою, швидкість зміни глюкози дорів­нює a kx(t), де k = 0 - деякий коефіцієнт пропорційності, то маємо рівняння

dx

—— = a kx(t),

dt

яке визначає разом з початковою умовою x(0) = xo математичну модель задачі.

Одержане рівняння є диференціальним рівнянням з відокремлю­ваними змінними. Для його розв'язання відокремимо змінні

dx

      ЇГ = d1,

a kx

і проінтегруємо обидві частини отриманої рівності. Тоді одержимо

 

ln \a kx\ = t ln \C1\, к к

де Ci = 0. Звідси випливає, що a kx = Cie~kt і тому x = |-Cie-fct,

к

де Ci - довільна стала.

Відокремлюючи змінні, ми ділили на вираз a kx і тому мог­ли втратити розв'язок x = |. Безпосередньо переконуємося, що ця функція є розв'язком рівняння. Його можна одержати із x =

 

479h C\e kt при C\ = 0. Отже, всі розв'язки диференціального рів-к a

няння записуються у вигляді x = + Ce-kt, де C Є R.

Страницы:
1  2  3  4  5  6  7  8  9  10  11  12  13  14  15  16  17  18  19  20  21  22  23  24  25  26  27  28  29  30  31  32  33  34  35  36  37  38  39  40  41  42  43  44  45  46  47  48  49  50  51  52  53  54  55  56  57  58  59  60  61  62  63  64  65  66  67  68  69  70  71  72  73  74  75  76  77  78  79  80  81  82  83  84  85  86  87  88  89  90  91  92  93  94  95  96  97  98  99  100  101  102  103  104  105  106  107  108  109  110  111  112  113  114  115  116  117  118  119  120  121  122  123  124  125  126  127  128  129  130  131  132  133  134  135  136  137  138  139  140  141  142  143  144  145  146  147  148  149  150  151  152  153  154  155  156  157  158  159  160  161  162  163  164  165  166  167  168  169  170  171  172  173  174  175  176  177  178  179  180  181  182  183  184  185  186  187  188  189  190  191  192  193  194  195  196  197  198  199  200  201  202  203  204  205  206  207  208  209  210  211  212  213  214  215  216  217  218  219  220  221  222  223  224  225  226  227  228  229  230  231  232  233  234  235  236  237  238  239  240  241  242  243  244  245  246  247  248  249  250  251  252  253  254  255  256  257  258  259  260  261  262  263  264  265  266  267  268  269  270  271  272  273  274  275  276  277  278  279  280  281 


Похожие статьи

В П Лавринчук - Вища математика загальний курс частина 2 математичний аналіз і диференціальні рівняння