В П Лавринчук - Вища математика загальний курс частина 2 математичний аналіз і диференціальні рівняння - страница 245

Страницы:
1  2  3  4  5  6  7  8  9  10  11  12  13  14  15  16  17  18  19  20  21  22  23  24  25  26  27  28  29  30  31  32  33  34  35  36  37  38  39  40  41  42  43  44  45  46  47  48  49  50  51  52  53  54  55  56  57  58  59  60  61  62  63  64  65  66  67  68  69  70  71  72  73  74  75  76  77  78  79  80  81  82  83  84  85  86  87  88  89  90  91  92  93  94  95  96  97  98  99  100  101  102  103  104  105  106  107  108  109  110  111  112  113  114  115  116  117  118  119  120  121  122  123  124  125  126  127  128  129  130  131  132  133  134  135  136  137  138  139  140  141  142  143  144  145  146  147  148  149  150  151  152  153  154  155  156  157  158  159  160  161  162  163  164  165  166  167  168  169  170  171  172  173  174  175  176  177  178  179  180  181  182  183  184  185  186  187  188  189  190  191  192  193  194  195  196  197  198  199  200  201  202  203  204  205  206  207  208  209  210  211  212  213  214  215  216  217  218  219  220  221  222  223  224  225  226  227  228  229  230  231  232  233  234  235  236  237  238  239  240  241  242  243  244  245  246  247  248  249  250  251  252  253  254  255  256  257  258  259  260  261  262  263  264  265  266  267  268  269  270  271  272  273  274  275  276  277  278  279  280  281 

к

Тепер знайдемо сталу C, використовуючи початкову умову

x(0) = xo. Маємо xo = h C, тобто C = xo-- . Тому розв'язком

к к

задачі є x(t) = к + [x0 к)е    .

Приклад 14 (логістичний ріст). Швидкість зростання по­пуляції на одну особину дорівнює різниці між середньою народжу­ваністю і середньою смертністю. Вважатимемо, що середня народ­жуваність є додатною сталою в, що не залежить від часу t і розміру популяції y(t). Припустимо також, що середня смертність пропор­ційна розміру популяції і тому дорівнює Sy(t), де 6 > 0 - коефіцієнт пропорційності. Скласти математичну модель задачі й розв'язати її.

А Оскільки відносна швидкість ростуУ дорівнює в 6y(t),

y dt

то дістанемо, що розмір популяції y(t) описується диференціальним рівнянням

ddyy = y(e 6y(t)).

Очевидно, що це є диференціальне рівняння першого порядку з відокремлюваними змінними. Відокремимо змінні і проінтегруємо одержану рівність:

dy      = dt

 

fw—wrfdt+C"

Зауважимо, що

1       =11     6 1

y(e 6y)     ey    в в 6y

і тому

вУ   y     в J в 6y    J Ь ^in y + в ( 1)іп(в 6y)= t + ^

 

де C = -ln C2, C2 > 0.

 

 

 

48Отже, дістали таку рівність:

l(ln y 1п 6y))= t + \ln C2

вв
^ thy = t + ^C"C2eet,    C2 > 0.

в 6y

Остаточно маємо, що всі розв'язки рівняння визначаються фор­мулою

y(t)

вCeвt

C є R.

1 + 6Ceet'

Якщо задовольнити початкову умову y(0) = yo, то одержимyo


1 + 6C


або C


yo

в yo6

y(t)


yopeet

в yo6 + 6yoeetПроцес зростання, який описується цією функцією, називається логістичним ростом. При логістичному рості популяція із зрос­танням часу t наближається до граничного (рівноважного) розміру. Рівноважній популяції відповідає величинаlim y(t) =  lim —   —Г7

t—+00        t—+o в yo6 + yo6eet


l m

t>+00


eet((p yo6)e-et + 6yo)l m

t> + <00


yo6)e-et + 6yo


6'


оскільки     lim e et = 0.

t>+<oГрафічно логістичний ріст зображається так:

y

 

 

 

yo

t

 

 

48Приклад 15 (математична модель епідемії). Для про­стоти обмежимося розглядом епідемії найпростішого вигляду. При­пустимо, що досліджуване захворювання продовжується достатньо

довго, а тому можна вважати, що інфекція поширюється швидше,

ніж триває сама хвороба. Нас цікавитиме процес передачі інфекції. При цьому інфіковані особини не вилучаються з колонії і, отже, ін­фекція передається неінфікованим особинам контактним способом. Скласти математичну модель процесу і знайти закон залежності чис­ла неінфікованих від часу.

А Нехай a та b - відповідно кількість інфікованих і неінфікова-них особин в початковий момент, x = x(t) - кількість неінфікованих в момент t, а y = y(t) - кількість інфікованих у момент t. Для всіх моментів часу із деякого не дуже великого відрізка 0 < t < T (T мен­ше часу життя одного покоління, тому в наших рівняннях можемо не враховувати природну смертність) має місце рівність x + y = b + a.

Страницы:
1  2  3  4  5  6  7  8  9  10  11  12  13  14  15  16  17  18  19  20  21  22  23  24  25  26  27  28  29  30  31  32  33  34  35  36  37  38  39  40  41  42  43  44  45  46  47  48  49  50  51  52  53  54  55  56  57  58  59  60  61  62  63  64  65  66  67  68  69  70  71  72  73  74  75  76  77  78  79  80  81  82  83  84  85  86  87  88  89  90  91  92  93  94  95  96  97  98  99  100  101  102  103  104  105  106  107  108  109  110  111  112  113  114  115  116  117  118  119  120  121  122  123  124  125  126  127  128  129  130  131  132  133  134  135  136  137  138  139  140  141  142  143  144  145  146  147  148  149  150  151  152  153  154  155  156  157  158  159  160  161  162  163  164  165  166  167  168  169  170  171  172  173  174  175  176  177  178  179  180  181  182  183  184  185  186  187  188  189  190  191  192  193  194  195  196  197  198  199  200  201  202  203  204  205  206  207  208  209  210  211  212  213  214  215  216  217  218  219  220  221  222  223  224  225  226  227  228  229  230  231  232  233  234  235  236  237  238  239  240  241  242  243  244  245  246  247  248  249  250  251  252  253  254  255  256  257  258  259  260  261  262  263  264  265  266  267  268  269  270  271  272  273  274  275  276  277  278  279  280  281 


Похожие статьи

В П Лавринчук - Вища математика загальний курс частина 2 математичний аналіз і диференціальні рівняння