В П Лавринчук - Вища математика загальний курс частина 2 математичний аналіз і диференціальні рівняння - страница 246

Страницы:
1  2  3  4  5  6  7  8  9  10  11  12  13  14  15  16  17  18  19  20  21  22  23  24  25  26  27  28  29  30  31  32  33  34  35  36  37  38  39  40  41  42  43  44  45  46  47  48  49  50  51  52  53  54  55  56  57  58  59  60  61  62  63  64  65  66  67  68  69  70  71  72  73  74  75  76  77  78  79  80  81  82  83  84  85  86  87  88  89  90  91  92  93  94  95  96  97  98  99  100  101  102  103  104  105  106  107  108  109  110  111  112  113  114  115  116  117  118  119  120  121  122  123  124  125  126  127  128  129  130  131  132  133  134  135  136  137  138  139  140  141  142  143  144  145  146  147  148  149  150  151  152  153  154  155  156  157  158  159  160  161  162  163  164  165  166  167  168  169  170  171  172  173  174  175  176  177  178  179  180  181  182  183  184  185  186  187  188  189  190  191  192  193  194  195  196  197  198  199  200  201  202  203  204  205  206  207  208  209  210  211  212  213  214  215  216  217  218  219  220  221  222  223  224  225  226  227  228  229  230  231  232  233  234  235  236  237  238  239  240  241  242  243  244  245  246  247  248  249  250  251  252  253  254  255  256  257  258  259  260  261  262  263  264  265  266  267  268  269  270  271  272  273  274  275  276  277  278  279  280  281 

Оскільки інфекція передається при зустрічах інфікованих з неін-фікованими, то кількість неінфікованих буде зменшуватися з часом пропорційно кількості зустрічей між ними, тобто пропорційно добут­ку xy. Тому швидкість зменшення кількості неінфікованих особин dx

пропорційна xy, тобто dt
—в^еу'де в - коефіцієнт пропорційності. Згідно з умовою y = b + a x і тому отримаємо рівняння
—вx(b + a x).Відокремивши змінні, отримаємx(b + a x)


—вdt '——dx = —в (b + a)dt.

x(b + a x)

Запишемо це рівняння у вигляді+

x


dx

b + a x


—Є(Ь + a)dt48і проінтегруємо. Тоді одержимо, що

ln x ln(b x + a) = Є(Ь + a)t + ln Ci,

або x

ln-    x       = —в (b + a)t + ln Ci,    Ci > 0.

b x + a

Звідси випливає, що всі розв'язки рівняння визначаються рів­ністю x

    x       = Ce-e(b+a)t'    C > 0.

b x + a

Для визначення C скористаємося початковою умовою: при t = 0 кількість неінфікованих особин дорівнює b, тобто x(0) = b. Тоді C =

b

—, і, отже, a

 

b x + a a

Розв'язавши останнє рівняння відносно x, отримаємо

=    b(b + a) = b + aee(b+a)t.

Ця формула дає закон зменшення кількості x(t) неінфікованих у залежності від часу.

Приклад 16 (ріст листків рослин). Швидкість збільшен­ня площі молодого листка вікторії-регії, який має форму круга, про­порційна довжині кола листка і кількості сонячного світла, що падає на нього. Відомо, що кількість сонячного світла, яка падає на листок, пропорційна площі листка і косинусу кута між напрямком променів і перпендикуляром до листка. Знайти залежність площі S листка від часу t, якщо о 6 год. ранку ця площа дорівнювала 1600 см2, а о 18 год того самого дня - 2500 см2. Вважатимемо, що кут між напрям­ком променя Сонця і перпендикуляром до листка о 6 год. ранку і о 18 год. (без врахування знаку) дорівнює п/2, а опівдні - 0.

А Нехай t - час, що відраховується від півночі. Позначимо через S( t) площу листка в момент часу t. Тоді, згідно з умовою задачі, швидкість ^ пропорційна довжині кола листка і кількості сонячного світла, що падає на нього, тобто

dS

= ki2nrQ' dt

де 2nr - довжина кола листка в момент t, Q - кількість сонячного світла, ki - коефіцієнт пропорційності.

 

483[S

Площа листка S = irr2, а тому r = \ . Тоді

V п

 

dt л/п

Згідно з умовою Q = cos а, де а - кут між напрямком со­нячних променів і напрямком перпендикуляра до листка, k2 - кое­фіцієнт пропорційності. Кут а є лінійною функцією аргументу t, а

тому а = k^t + b. Параметри кз і b знаходимо із умов: при t =12 год.

п

кут а = 0, а при t =18 год. кут а = ^. Тоді маємо систему рівнянь

ґ 0=12кз + b' \ п = 18кз + b.

п

Розв'язуючи цю систему, отримуємо кз =      , b = —п і тому

пп

а = t п = ~T2~(t -2). Тоді кількість Q сонячного світла дорівнює Q = k2 S cos

Страницы:
1  2  3  4  5  6  7  8  9  10  11  12  13  14  15  16  17  18  19  20  21  22  23  24  25  26  27  28  29  30  31  32  33  34  35  36  37  38  39  40  41  42  43  44  45  46  47  48  49  50  51  52  53  54  55  56  57  58  59  60  61  62  63  64  65  66  67  68  69  70  71  72  73  74  75  76  77  78  79  80  81  82  83  84  85  86  87  88  89  90  91  92  93  94  95  96  97  98  99  100  101  102  103  104  105  106  107  108  109  110  111  112  113  114  115  116  117  118  119  120  121  122  123  124  125  126  127  128  129  130  131  132  133  134  135  136  137  138  139  140  141  142  143  144  145  146  147  148  149  150  151  152  153  154  155  156  157  158  159  160  161  162  163  164  165  166  167  168  169  170  171  172  173  174  175  176  177  178  179  180  181  182  183  184  185  186  187  188  189  190  191  192  193  194  195  196  197  198  199  200  201  202  203  204  205  206  207  208  209  210  211  212  213  214  215  216  217  218  219  220  221  222  223  224  225  226  227  228  229  230  231  232  233  234  235  236  237  238  239  240  241  242  243  244  245  246  247  248  249  250  251  252  253  254  255  256  257  258  259  260  261  262  263  264  265  266  267  268  269  270  271  272  273  274  275  276  277  278  279  280  281 


Похожие статьи

В П Лавринчук - Вища математика загальний курс частина 2 математичний аналіз і диференціальні рівняння