В П Лавринчук - Вища математика загальний курс частина 2 математичний аналіз і диференціальні рівняння - страница 247

Страницы:
1  2  3  4  5  6  7  8  9  10  11  12  13  14  15  16  17  18  19  20  21  22  23  24  25  26  27  28  29  30  31  32  33  34  35  36  37  38  39  40  41  42  43  44  45  46  47  48  49  50  51  52  53  54  55  56  57  58  59  60  61  62  63  64  65  66  67  68  69  70  71  72  73  74  75  76  77  78  79  80  81  82  83  84  85  86  87  88  89  90  91  92  93  94  95  96  97  98  99  100  101  102  103  104  105  106  107  108  109  110  111  112  113  114  115  116  117  118  119  120  121  122  123  124  125  126  127  128  129  130  131  132  133  134  135  136  137  138  139  140  141  142  143  144  145  146  147  148  149  150  151  152  153  154  155  156  157  158  159  160  161  162  163  164  165  166  167  168  169  170  171  172  173  174  175  176  177  178  179  180  181  182  183  184  185  186  187  188  189  190  191  192  193  194  195  196  197  198  199  200  201  202  203  204  205  206  207  208  209  210  211  212  213  214  215  216  217  218  219  220  221  222  223  224  225  226  227  228  229  230  231  232  233  234  235  236  237  238  239  240  241  242  243  244  245  246  247  248  249  250  251  252  253  254  255  256  257  258  259  260  261  262  263  264  265  266  267  268  269  270  271  272  273  274  275  276  277  278  279  280  281 

Отже, для функції S маємо рівняння

dS

..,..2_ v ..„ . „' cos

dt

Позначимо k = ki k2. Тоді, відокремлюючи змінні, отримуємо dS

2k^/Hcos(^2(t -2)j dt.

SS

Проінтегрувавши це рівняння, одержимо

_2=Ш sin (1_(t -2)\ + C'   C є R. VS    VH    ^-2 >

Для обчислення сталої C і коефіцієнта k використаємо умови задачі: при t = 6 год. площа S = -600 см2, а при t = -8 год. -S = 2500 см2. Тоді отримаємо систему

( 1 = 24k +r< )    20 = ~Jn + C'

 к = ^ + C.

 

 

48Звідси знаходимо, що С = -     , к = 4800. Тому

 

2        24л       / п ,        ,\ 9

     = =        ^= sin [—it - 12)           .

4800,Д     V12V        Ч 200

Отже, маємо залежність площі S від часу t:

= ______ 160000

= (9 - sin (12(t - 12)))2 ' *

Наведемо приклади математичних моделей хімічних про­цесів, які описуються диференщальними рівняннями.

Хімічні реакції. Молекулярність хімічної реакції дорів­нює загальній кількості молекул, які входять в ліву частину хі­мічного рівняння. Порядком реакції є сума показників степенів концентрацій, що входять до її кінетичного рівняння. Напри­клад, RaB —*■ RaC є реакцією першого порядку. Швидкість, з якою система компонентів лівої частини перетворюється в си­стему компонентів правої частини рівняння, називається швид­кістю реакції. Діюча маса або концентрація реагуючої речови­ни A є кількість молей (моль або грам-молекула речовини -кількість грамів цієї речовини, яка дорівнює її молекулярній масі). Наприклад, 1 моль кисню дорівнює 16 г, а 1 моль водню -2 г цієї речовини в одиниці об'єму. Згідно з законом діючих мас швидкість реакції пропорційна добутку концентрацій реа­гуючих речовин у даний момент.

Хімічні реакції першого порядку. Якщо a - початкова концентрація речовини A, x - кількість молей на літр, які ре­агували за час t від початку реакції, то швидкість цієї реакції dx

є —, а діюча маса речовини на цей момент становить a x. dt

Тоді за законом діючих мас маємо

dx

- = k(a - x),

 

де к - коефіцієнт пропорційності, який залежить від типу і умов хімічного процесу. Оскільки це рівняння з відокремлюва-

 

 

485ними змінними, то після відокремлення змінних та інтегруван­ня, одержимо:

dx

         = kdt,

a-x

- ln(a - x) + In С = kt

або

ln        = kt,   С > 0. a - x

Для визначення сталої С скористаємося тим, що при t = 0

a

x = 0. Тоді С = a і, отже, ln------   = kt. Звідси випливає, що

a - x

x = a(1 - e~kt).

Розглянемо конкретний приклад хімічної реакції першого порядку.

Приклад 17. Радіоактивний елемент RaB розпадається напо­ловину, утворюючи радіоактивний елемент RaC, протягом 26,7 хв. Знайти час розпаду 0,2 початкової кількості RaB.

А Маємо реакцію першого порядку RaB RaC. Тоді, згідно з викладеним вище, отримуємо математичну модель, що описує цю реакцію

= k(a - x), x(0) = 0.

 

Звідси, після інтегрування одержуємо, що In        = kt. Тому

 

1a

t = 7 і11         .

k     a x

Коефіцієнт пропорційності k знаходимо з умови, що x(26, 7) = 2. Тоді маємо

26, 7 = 1 Inaa   або   26, 7=-1ln2

k     a 2 k

Страницы:
1  2  3  4  5  6  7  8  9  10  11  12  13  14  15  16  17  18  19  20  21  22  23  24  25  26  27  28  29  30  31  32  33  34  35  36  37  38  39  40  41  42  43  44  45  46  47  48  49  50  51  52  53  54  55  56  57  58  59  60  61  62  63  64  65  66  67  68  69  70  71  72  73  74  75  76  77  78  79  80  81  82  83  84  85  86  87  88  89  90  91  92  93  94  95  96  97  98  99  100  101  102  103  104  105  106  107  108  109  110  111  112  113  114  115  116  117  118  119  120  121  122  123  124  125  126  127  128  129  130  131  132  133  134  135  136  137  138  139  140  141  142  143  144  145  146  147  148  149  150  151  152  153  154  155  156  157  158  159  160  161  162  163  164  165  166  167  168  169  170  171  172  173  174  175  176  177  178  179  180  181  182  183  184  185  186  187  188  189  190  191  192  193  194  195  196  197  198  199  200  201  202  203  204  205  206  207  208  209  210  211  212  213  214  215  216  217  218  219  220  221  222  223  224  225  226  227  228  229  230  231  232  233  234  235  236  237  238  239  240  241  242  243  244  245  246  247  248  249  250  251  252  253  254  255  256  257  258  259  260  261  262  263  264  265  266  267  268  269  270  271  272  273  274  275  276  277  278  279  280  281 


Похожие статьи

В П Лавринчук - Вища математика загальний курс частина 2 математичний аналіз і диференціальні рівняння