В П Лавринчук - Вища математика загальний курс частина 2 математичний аналіз і диференціальні рівняння - страница 248

Страницы:
1  2  3  4  5  6  7  8  9  10  11  12  13  14  15  16  17  18  19  20  21  22  23  24  25  26  27  28  29  30  31  32  33  34  35  36  37  38  39  40  41  42  43  44  45  46  47  48  49  50  51  52  53  54  55  56  57  58  59  60  61  62  63  64  65  66  67  68  69  70  71  72  73  74  75  76  77  78  79  80  81  82  83  84  85  86  87  88  89  90  91  92  93  94  95  96  97  98  99  100  101  102  103  104  105  106  107  108  109  110  111  112  113  114  115  116  117  118  119  120  121  122  123  124  125  126  127  128  129  130  131  132  133  134  135  136  137  138  139  140  141  142  143  144  145  146  147  148  149  150  151  152  153  154  155  156  157  158  159  160  161  162  163  164  165  166  167  168  169  170  171  172  173  174  175  176  177  178  179  180  181  182  183  184  185  186  187  188  189  190  191  192  193  194  195  196  197  198  199  200  201  202  203  204  205  206  207  208  209  210  211  212  213  214  215  216  217  218  219  220  221  222  223  224  225  226  227  228  229  230  231  232  233  234  235  236  237  238  239  240  241  242  243  244  245  246  247  248  249  250  251  252  253  254  255  256  257  258  259  260  261  262  263  264  265  266  267  268  269  270  271  272  273  274  275  276  277  278  279  280  281 

ln2

і тому k = 26-7.

Отже, для розпаду кількості x = 0, 2a радіоактивного елемента потрібний час

 

t =----- ln--------- =------ ln---- =------ ln - « 8, 6 (хв).

 

 

 

486Хімічні реакції другого порядку. Нехай a і b - почат­кові концентрації речовин A і B; x - кількість прореагованих до моменту часу t молей речовини A, а, отже, і речовини B, оскільки кожний моль речовини A сполучається з молем ре­човини B, і тому кількість прореагованих молей обох речовин

dx

однакова. В момент часу t швидкість реакції буде —, а діюча

dt

маса речовини A, тобто кількість речовини в одиниці об'єму, дорівнюватиме a - x, а речовини B - b - x. Тому на основі закону діючих мас одержуємо таке диференціальне рівняння:
k(a - x)(b - x),де k - коефіцієнт пропорційності. Отже, маємо рівняння з відо­кремлюваними змінними. Після відокремлення змінних одер-

жим(a - x)(b - x)


kdt.Розглянемо два випадки:

1) Нехай a = b. Тоді, проінтегрувавши це рівняння, одер-жимо:


/

dx f
            г. = k    dt + С
(a - x)2 J
1


kt + С.ax

1

Оскільки при t = 0 x = 0, то С = і томуx=a


a

1 + akt2)   Нехай   a    =    b.   Очевидно, що


1

(a - x)(b - x)\a - x    b - x) b - a
dx

(a - x)(b - x)


1

ba


a - x    b - x


d487= —1—(- ln(a - x) + ln(b - x)) = 1 ln bx.
b - a                                                    b - a    a - x

Тому, проінтегрувавши рівняння, одержимо

1   ,   b - x    , , ^
ln------ = kt + С.

b - a    a - x

 

Оскільки x(0) = 0, то С =------ ln і тому

b - a a

1       b - x                1       b                         1      a(b - x)

----- ln------ = kt +------- ln -   або   kt =-------- ln —------ .

b - a    a - x            b - a    a                  b - a    b(a - x)

Звідси випливає, що

a   x a

b - x = b_e(b_a)kt   і   x = ab(e(b-a)kt - 1)

be(b-a)kt _ 1

Приклад 18. В реакції омилення оцитовоетилового ефіру гідроксидом натрію

СН3СООС2Н5 +   NaOH   СНзСС-ONa + С2Н5ОН
етилацетат           натрій             натрій етанол

гідроксид ацетат

початкові концентрації еталацетату і натрію гідроксиду були відпо­відно a = 0, 01 і b = 0, 002. Після 23 хв концентрація оцтовоетилового ефіру зменшилась на 10%. За який час вона зменшиться на 15%?

А Оскільки маємо реакцію другого порядку, то її математична модель має вигляд:

dx

— = k(a - x)(b - x),    x(0) = 0.

 

Після розв'язування цієї задачі Коші, одержуємо, що

1       a( b x) b - a    b( a - x)

Коефіцієнт пропорційності визначимо з умови, що при t = 23 хв x = 0,1 • 0,01 = 0, 001. Тоді

=          1         l  0,01(0,002 - 0,001)

0, 002 - 0,01 n0,002(0, 01 - 0,001)

48к = —ln1, 8.

Тепер знайдемо час, за який концентрація зменшиться на 15%:

125 lnl, 81 =         l          ln0, 01(0, 002 - 0, 0015)

23       = 0,002 - 0, 01 П0, 002(0,01 - 0, 0015),

Страницы:
1  2  3  4  5  6  7  8  9  10  11  12  13  14  15  16  17  18  19  20  21  22  23  24  25  26  27  28  29  30  31  32  33  34  35  36  37  38  39  40  41  42  43  44  45  46  47  48  49  50  51  52  53  54  55  56  57  58  59  60  61  62  63  64  65  66  67  68  69  70  71  72  73  74  75  76  77  78  79  80  81  82  83  84  85  86  87  88  89  90  91  92  93  94  95  96  97  98  99  100  101  102  103  104  105  106  107  108  109  110  111  112  113  114  115  116  117  118  119  120  121  122  123  124  125  126  127  128  129  130  131  132  133  134  135  136  137  138  139  140  141  142  143  144  145  146  147  148  149  150  151  152  153  154  155  156  157  158  159  160  161  162  163  164  165  166  167  168  169  170  171  172  173  174  175  176  177  178  179  180  181  182  183  184  185  186  187  188  189  190  191  192  193  194  195  196  197  198  199  200  201  202  203  204  205  206  207  208  209  210  211  212  213  214  215  216  217  218  219  220  221  222  223  224  225  226  227  228  229  230  231  232  233  234  235  236  237  238  239  240  241  242  243  244  245  246  247  248  249  250  251  252  253  254  255  256  257  258  259  260  261  262  263  264  265  266  267  268  269  270  271  272  273  274  275  276  277  278  279  280  281 


Похожие статьи

В П Лавринчук - Вища математика загальний курс частина 2 математичний аналіз і диференціальні рівняння