В П Лавринчук - Вища математика загальний курс частина 2 математичний аналіз і диференціальні рівняння - страница 251

Страницы:
1  2  3  4  5  6  7  8  9  10  11  12  13  14  15  16  17  18  19  20  21  22  23  24  25  26  27  28  29  30  31  32  33  34  35  36  37  38  39  40  41  42  43  44  45  46  47  48  49  50  51  52  53  54  55  56  57  58  59  60  61  62  63  64  65  66  67  68  69  70  71  72  73  74  75  76  77  78  79  80  81  82  83  84  85  86  87  88  89  90  91  92  93  94  95  96  97  98  99  100  101  102  103  104  105  106  107  108  109  110  111  112  113  114  115  116  117  118  119  120  121  122  123  124  125  126  127  128  129  130  131  132  133  134  135  136  137  138  139  140  141  142  143  144  145  146  147  148  149  150  151  152  153  154  155  156  157  158  159  160  161  162  163  164  165  166  167  168  169  170  171  172  173  174  175  176  177  178  179  180  181  182  183  184  185  186  187  188  189  190  191  192  193  194  195  196  197  198  199  200  201  202  203  204  205  206  207  208  209  210  211  212  213  214  215  216  217  218  219  220  221  222  223  224  225  226  227  228  229  230  231  232  233  234  235  236  237  238  239  240  241  242  243  244  245  246  247  248  249  250  251  252  253  254  255  256  257  258  259  260  261  262  263  264  265  266  267  268  269  270  271  272  273  274  275  276  277  278  279  280  281 

16.Популяція х( t) бактерій збільшується так, що відносна швид-

1

кість зростання у момент часу t год) дорівнює 1 + 2t' Нехай по­чаткова популяція складає х(0) = 1000. Якою буде ця популяція після 4 годин росту?

17.Знайти розв'язок рівняння, який задовольняє задану почат­кову умову:

1)      + у = є*, у(0) = 1000; 2) <| + 2ty = te-t, у(0) = 1.

18.Вихід речовини S у деякій хімічній реакції складає a молів за хвилину. У той же час вона розкладається зі швидкістю k молів за хвилину на кожний моль S. Нехай S(t) - кількість молів речовини в момент часу t. Скласти диференціальне рівняння, яке задовольняє S(t) і розв'язати його, якщо S(0) = So.

19. Для рівняння = у(0,1 0,001у) знайти розв'язок, який

задовольняє початкову умову у(0) = 10. Чому дорівнює рівноважний розмір популяції lim у^)?

t>оо

20. Дві речовини A і B беруть участь у хімічній реакції в однако-
вих кількостях і дають сполуку
C. Нехай а і b - початкові концентра-
ції речовин
A і B. Позначимо через х^) концентрацію речовини C у
момент часу
t. Швидкість збільшення концентрації C виражається

величиною = г(а х)(Ь х), де r - додатна стала. Знайти: 1)

 

49концентрацію х^) сполуки C для t > 0, коли х(0) = 0; 2) граничну концентрацію lim х^), якщо а = 10, b = 15 од.

t>оо

21. Ріст, виживання та поділ клітин визначається потоком по­живних речовин через оболонку клітини. Це означає, що на ранніх стадіях клітинного росту збільшення маси клітини пропорційне пло­щі її поверхні. Якщо під час росту форма і густина клітини не змі­нюються, то маса клітини х^) у момент часу t пропорційна кубу ра­діуса, а площа її поверхні пропорційна квадрату радіуса. Потрібно: 1) переконатися у тому, що на ранніх стадіях росту х^) задоволь­няє рівняння = Сх2/3, де C > 0 - коефіцієнт пропорційності; 2)

знайти х^), якщо х(0) = хо; 3) знайти час, за який маса клітини подвоїться, якщо C = 3, а хо = 1.

22. Речовина A перетворюється в речовину B. Після 1 год з по­чатку реакції залишилося 44,8 г речовини A, а після 3 год - 11,2 г речовини A. Визначити початкову кількість а речовини A і час, коли залишиться половина цієї речовини.

23. В резервуарі знаходиться 100 л розчину, який містить 10 кг солі. В резервуар зі швидкістю 3 л за хвилину подається вода і одно­часно зі швидкістю 2 л за хвилину розчин виливається із резервуара, причому концентрація розчину залишається весь час рівномірною завдяки перемішуванню. Скільки солі залишається в резервуарі че­рез годину?

 

Відповіді

 

1. 1) у = 2х; 2) х2 + у2 = C2; 3) х + у = InC + 1)(у +
1);    4)
у = e1/x;    5) у = C + 1)e-x;    6) у = є^-2;    7) у2 =

21x1^^ (1 + єх)^ ;    8) arctg у = arctg х + 4;    9) у = 2sin2 х 1

10) 2у2 = х2 2.

2х у

2. 1) у =       -тт;    2) у = 2х arctgх;    3) sin —+ ln \х\ = C;

4) у = х ln C;    5) C)2 у2 = C2;

хх

6) х = Cex/y;    7) ln + у\ + -Г— = C.

х+у

3. 1) у = Cх3 х2;    2) у = lnх + 1 — + C;
1
        C                       1 хх

Страницы:
1  2  3  4  5  6  7  8  9  10  11  12  13  14  15  16  17  18  19  20  21  22  23  24  25  26  27  28  29  30  31  32  33  34  35  36  37  38  39  40  41  42  43  44  45  46  47  48  49  50  51  52  53  54  55  56  57  58  59  60  61  62  63  64  65  66  67  68  69  70  71  72  73  74  75  76  77  78  79  80  81  82  83  84  85  86  87  88  89  90  91  92  93  94  95  96  97  98  99  100  101  102  103  104  105  106  107  108  109  110  111  112  113  114  115  116  117  118  119  120  121  122  123  124  125  126  127  128  129  130  131  132  133  134  135  136  137  138  139  140  141  142  143  144  145  146  147  148  149  150  151  152  153  154  155  156  157  158  159  160  161  162  163  164  165  166  167  168  169  170  171  172  173  174  175  176  177  178  179  180  181  182  183  184  185  186  187  188  189  190  191  192  193  194  195  196  197  198  199  200  201  202  203  204  205  206  207  208  209  210  211  212  213  214  215  216  217  218  219  220  221  222  223  224  225  226  227  228  229  230  231  232  233  234  235  236  237  238  239  240  241  242  243  244  245  246  247  248  249  250  251  252  253  254  255  256  257  258  259  260  261  262  263  264  265  266  267  268  269  270  271  272  273  274  275  276  277  278  279  280  281 


Похожие статьи

В П Лавринчук - Вища математика загальний курс частина 2 математичний аналіз і диференціальні рівняння