В П Лавринчук - Вища математика загальний курс частина 2 математичний аналіз і диференціальні рівняння - страница 253

Страницы:
1  2  3  4  5  6  7  8  9  10  11  12  13  14  15  16  17  18  19  20  21  22  23  24  25  26  27  28  29  30  31  32  33  34  35  36  37  38  39  40  41  42  43  44  45  46  47  48  49  50  51  52  53  54  55  56  57  58  59  60  61  62  63  64  65  66  67  68  69  70  71  72  73  74  75  76  77  78  79  80  81  82  83  84  85  86  87  88  89  90  91  92  93  94  95  96  97  98  99  100  101  102  103  104  105  106  107  108  109  110  111  112  113  114  115  116  117  118  119  120  121  122  123  124  125  126  127  128  129  130  131  132  133  134  135  136  137  138  139  140  141  142  143  144  145  146  147  148  149  150  151  152  153  154  155  156  157  158  159  160  161  162  163  164  165  166  167  168  169  170  171  172  173  174  175  176  177  178  179  180  181  182  183  184  185  186  187  188  189  190  191  192  193  194  195  196  197  198  199  200  201  202  203  204  205  206  207  208  209  210  211  212  213  214  215  216  217  218  219  220  221  222  223  224  225  226  227  228  229  230  231  232  233  234  235  236  237  238  239  240  241  242  243  244  245  246  247  248  249  250  251  252  253  254  255  256  257  258  259  260  261  262  263  264  265  266  267  268  269  270  271  272  273  274  275  276  277  278  279  280  281 

 

F (x,y,y',y" ) = 0 (1)

або, якщо це можливо, у вигляді, розв'язаному відносно другої похідної

y" = f (x,y,y'). (2)

Як і у випадку диференціального рівняння першого поряд­ку, для рівняння другого порядку існують загальний і частин­ний розв'язки.

Приклад 1. Знайти всі розв'язки рівняння

II о

y =2.

А Введемо позначення y' = z(x). Тоді y" = z' і задане рівняння набуде вигляду z' = 2. Звідси випливає, що z = 2x + Ci, або y' = 2x + C\. Проінтегрувавши ще раз, дістанемо

y = x2 + Cix + C2. (3)

y І                              Одержаний загальний розв'язок

I /    ■              залежить від двох довільних сталих.

Очевидно, що (3) - це сукупність па­рабол, причому через кожну точку x        площину проходить безліч парабол, які мають в цій точці різні дотичні. Для виділення з цієї множини деякої інтегральної кривої необ­хідно, крім координат точки (xo; yo), через яку проходить параболи, додатково задати кутовий коефіцієнт дотичної, тобто y'(xo).

Отже, умови, за допомогою яких із загального розв'зку рівняння другого порядку виділяється частинний розв'язок мають вигляд

y(x0) = y0,     y'(x0) = y0, (4)

де xo, yo, yo' - задані числа. Перша з цих умов визначає точку, че­рез яку повинна проходити інтегральна крива, а друга - нахил інте­гральної кривої в цій точці.

 

495Задамо, наприклад, для рівняння y'' = 2 такі початкові умови:

y(1)=2,   y'(1) = 1.

Із загального розв'язку (3) одержуємо y' = 2x + Ci. Використовуючи початкові умови, дістанемо для визначення Ci і C2 систему рівнянь

Г 2 = 1 + 1Ci + C2, 1 1=2 + Ci.

З цієї системи знаходимо, що Ci = —1, C2 = 2. Тому шуканий розв'язок має вигляд y = x2 x + 2.^

Результати, одержані в прикладі 1, залишаються правиль­ними і для довільного диференціального рівняння другого по­рядку (2). Для цього рівняння правильна теорема існування і єдиності (теорема Коші): нехай права частина f (x,y,y') рівняння (2) i її частинні похідні f y (x, y, y') i f'y, (x, y, y') визна­чені та неперервні в деякій області Q зміни x, y і y'. Тоді для будь-якої внутрішньої точки (xo; yo; y0) цієї області рівняння (2) має єдиний розв'язок y = p(x), який задовольняє початкові умови (4).

Задача знаходження розв'язку рівняння (2), який задоволь­няє початкові умови (4), називається задачею Коші.

Функція y = p(x, C\, C2) називається загальним розв'яз­ком рівняння (2) в області Q, якщо вона задовольняє умови:

1)  при довільних значеннях сталих Ci і C2 р є розв'язком рівняння (2);

2)  які б не були початкові умови (4) існують єдині зна­чення сталих Cio і C20 такі, що функція y = p(x, Cio, C20) є розв'язком рівняння (2) і задовольняє початкові умови (4).

Очевидно, що значення сталих Cio і C20 знаходяться з си­стеми рівнянь

Г yo = p(xo,Ci,C2), \ y0 = p'(xo,Ci,C2).

При заданні початкових умов (4) треба пам'ятати, що точка (xo; yo; y0) повинна належати області Q.

Якщо загальний розв'язок диференціального рівняння дру­гого порядку одержано у вигляді, не розв'язаному відносно шу-

 

496каної функції <J>(x,y,Ci,C2) = 0, то це співвідношення назива­ють загальним інтегралом диференціального рівняння.

Будь-який розв'язок y = p(x,Cio,C2o) рівняння (2), що одержується із загального розв'язку y = p(x, Ci, C2) при кон­кретних значеннях сталих Ci = Cio, C2 = C2o, називається частинним розв'язком.

Страницы:
1  2  3  4  5  6  7  8  9  10  11  12  13  14  15  16  17  18  19  20  21  22  23  24  25  26  27  28  29  30  31  32  33  34  35  36  37  38  39  40  41  42  43  44  45  46  47  48  49  50  51  52  53  54  55  56  57  58  59  60  61  62  63  64  65  66  67  68  69  70  71  72  73  74  75  76  77  78  79  80  81  82  83  84  85  86  87  88  89  90  91  92  93  94  95  96  97  98  99  100  101  102  103  104  105  106  107  108  109  110  111  112  113  114  115  116  117  118  119  120  121  122  123  124  125  126  127  128  129  130  131  132  133  134  135  136  137  138  139  140  141  142  143  144  145  146  147  148  149  150  151  152  153  154  155  156  157  158  159  160  161  162  163  164  165  166  167  168  169  170  171  172  173  174  175  176  177  178  179  180  181  182  183  184  185  186  187  188  189  190  191  192  193  194  195  196  197  198  199  200  201  202  203  204  205  206  207  208  209  210  211  212  213  214  215  216  217  218  219  220  221  222  223  224  225  226  227  228  229  230  231  232  233  234  235  236  237  238  239  240  241  242  243  244  245  246  247  248  249  250  251  252  253  254  255  256  257  258  259  260  261  262  263  264  265  266  267  268  269  270  271  272  273  274  275  276  277  278  279  280  281 


Похожие статьи

В П Лавринчук - Вища математика загальний курс частина 2 математичний аналіз і диференціальні рівняння