В П Лавринчук - Вища математика загальний курс частина 2 математичний аналіз і диференціальні рівняння - страница 254

Страницы:
1  2  3  4  5  6  7  8  9  10  11  12  13  14  15  16  17  18  19  20  21  22  23  24  25  26  27  28  29  30  31  32  33  34  35  36  37  38  39  40  41  42  43  44  45  46  47  48  49  50  51  52  53  54  55  56  57  58  59  60  61  62  63  64  65  66  67  68  69  70  71  72  73  74  75  76  77  78  79  80  81  82  83  84  85  86  87  88  89  90  91  92  93  94  95  96  97  98  99  100  101  102  103  104  105  106  107  108  109  110  111  112  113  114  115  116  117  118  119  120  121  122  123  124  125  126  127  128  129  130  131  132  133  134  135  136  137  138  139  140  141  142  143  144  145  146  147  148  149  150  151  152  153  154  155  156  157  158  159  160  161  162  163  164  165  166  167  168  169  170  171  172  173  174  175  176  177  178  179  180  181  182  183  184  185  186  187  188  189  190  191  192  193  194  195  196  197  198  199  200  201  202  203  204  205  206  207  208  209  210  211  212  213  214  215  216  217  218  219  220  221  222  223  224  225  226  227  228  229  230  231  232  233  234  235  236  237  238  239  240  241  242  243  244  245  246  247  248  249  250  251  252  253  254  255  256  257  258  259  260  261  262  263  264  265  266  267  268  269  270  271  272  273  274  275  276  277  278  279  280  281 

Якщо загальний розв'язок рівняння (2) записано в пара­метричному вигляді

Ґ x = p(t,Ci,C2), (5)

\ y = ij(t,Ci,C2), W

то (5) називається загальним розв'язком рівняння (2) у параметричній формі.

3.2. Найпростіші рівняння другого порядку, які допускають зниження порядку. У цьому пункті розгля­немо рівняння другого порядку, які за допомогою заміни змін­ної зводяться до рівнянь першого порядку.

3.2.1. Рівняння y'' = f(x). Припустимо, що f неперерв­на в інтервалі (a; b). Тоді існує єдиний розв'язок задачі Коші, причому початкові дані yo, yo' можна задавати довільно, а xo повинно належати інтервалу (a; b). Цей розв'язок визначений в усьому інтервалі (a; b). Особливих розв'язків рівняння не має, тобто всі розв'язки є частинними.

Приклад 2. Знайти розв'язок рівняння y'' = xex, якщо y(0) =

1, y'(0) = 0.

А Знайдемо спочатку загальний розв'язок рівняння. Для цього двічі послідовно проінтегруємо задане рівняння

у' = / ^ + Ci = / ГЛ,Х + Ci =

=xexIexdx+Ci=xexex+C1=(x1)ex+Ci_

y = J ((x 1)ex + Ci )dx = J(x 1)dex + Cix = = (x 1)ex J exdx + Cix = (x 2)ex + Cix + C2, {Ci, C2} С R.

497Знайдемо розв'язок, який задовольняє початкові умови. Для цьо­го підставимо xo = 0, yo = 1, у' = 0 в одержані вище вирази для y і у':

ґ 0= -1 + Єь 1 1 = -2 + C2.

Звідси випливає, що C\ = 1, C2 = 3, а шуканим розв'язком є у = (x - 2)ex + x + 3.

 

3.2.2. Рівняння у" = f (x,y'). Це рівняння не містить явно у. Введемо нову функцію у' = z(x). Тоді у" = z'(x) і рівняння набуде вигляду

z'(x) = f (x,z(x)).

Припустимо, що знайдено загальний розв'язок цього рівняння z(x) = ip(x,C\). Замінивши в одержаному розв'язку z на у', дістанемо рівняння

у' = <p(x,Ci).

Якщо проінтегрувати цей вираз, то знайдемо загальний розв'язок вихідного рівняння

у = j <p(x, Ci)dx + C2,   {Ci,C2} С R.

Приклад 3. Знайти розв'язок рівняння (1 + x'1')^' 2xy' = 0, який задовольняє умови у(1) = 0, у'(1) = 1.

А Нехай у' = z(x), тоді у'' = z'(x). Підставивши ці вирази в задане рівняння, одержимо рівняння першого порядку

(1 + x2)z' - 2xz = 0.

Відокремивши змінні, дістанемо

dz 2xdx z      1 + x1

Якщо проінтегрувати, то отримаємо

ln \z\ =ln(1 + x2) + ln\C\\,    C\ =0.

 

 

49Після потенціювання матимемо

z = ±C1(1 + x2)

 

або

z = C2(1 + x2),   C2 Є R,

якщо врахувати втрачений розв'язок z = 0.

Оскільки z = y', то y' = C2(1 + x2). Проінтегрувавши ще раз, одержимо загальний розв'язок рівняння

Страницы:
1  2  3  4  5  6  7  8  9  10  11  12  13  14  15  16  17  18  19  20  21  22  23  24  25  26  27  28  29  30  31  32  33  34  35  36  37  38  39  40  41  42  43  44  45  46  47  48  49  50  51  52  53  54  55  56  57  58  59  60  61  62  63  64  65  66  67  68  69  70  71  72  73  74  75  76  77  78  79  80  81  82  83  84  85  86  87  88  89  90  91  92  93  94  95  96  97  98  99  100  101  102  103  104  105  106  107  108  109  110  111  112  113  114  115  116  117  118  119  120  121  122  123  124  125  126  127  128  129  130  131  132  133  134  135  136  137  138  139  140  141  142  143  144  145  146  147  148  149  150  151  152  153  154  155  156  157  158  159  160  161  162  163  164  165  166  167  168  169  170  171  172  173  174  175  176  177  178  179  180  181  182  183  184  185  186  187  188  189  190  191  192  193  194  195  196  197  198  199  200  201  202  203  204  205  206  207  208  209  210  211  212  213  214  215  216  217  218  219  220  221  222  223  224  225  226  227  228  229  230  231  232  233  234  235  236  237  238  239  240  241  242  243  244  245  246  247  248  249  250  251  252  253  254  255  256  257  258  259  260  261  262  263  264  265  266  267  268  269  270  271  272  273  274  275  276  277  278  279  280  281 


Похожие статьи

В П Лавринчук - Вища математика загальний курс частина 2 математичний аналіз і диференціальні рівняння