В П Лавринчук - Вища математика загальний курс частина 2 математичний аналіз і диференціальні рівняння - страница 255

Страницы:
1  2  3  4  5  6  7  8  9  10  11  12  13  14  15  16  17  18  19  20  21  22  23  24  25  26  27  28  29  30  31  32  33  34  35  36  37  38  39  40  41  42  43  44  45  46  47  48  49  50  51  52  53  54  55  56  57  58  59  60  61  62  63  64  65  66  67  68  69  70  71  72  73  74  75  76  77  78  79  80  81  82  83  84  85  86  87  88  89  90  91  92  93  94  95  96  97  98  99  100  101  102  103  104  105  106  107  108  109  110  111  112  113  114  115  116  117  118  119  120  121  122  123  124  125  126  127  128  129  130  131  132  133  134  135  136  137  138  139  140  141  142  143  144  145  146  147  148  149  150  151  152  153  154  155  156  157  158  159  160  161  162  163  164  165  166  167  168  169  170  171  172  173  174  175  176  177  178  179  180  181  182  183  184  185  186  187  188  189  190  191  192  193  194  195  196  197  198  199  200  201  202  203  204  205  206  207  208  209  210  211  212  213  214  215  216  217  218  219  220  221  222  223  224  225  226  227  228  229  230  231  232  233  234  235  236  237  238  239  240  241  242  243  244  245  246  247  248  249  250  251  252  253  254  255  256  257  258  259  260  261  262  263  264  265  266  267  268  269  270  271  272  273  274  275  276  277  278  279  280  281 

з

У = C^x + ^)+ C3,   {C2,C3}C R.

Виділимо з цього загального розв'язку частинний розв'язок. Ско-риставшись першою початковою умовою, знаходимо, що 0 = C2 (1 +

1\ 4

3J+C3 або зC2 + C3 = 0. Продиференціювавши загальний розв'язок і скориставшись другою початковою умовою, матимемо:

y' = Ci (1+ x2),

1 = C2(1 + 1)   або   C2 = 2. Отже, для визначення C2 і C3 дістали систему

 

 

4

3 C2 + C3 =0.

 

Звідси одержуємо, що C2 = 1, C3 = з, а тому частинний розв'язок має вигляд

x3    x 2
y =      1         .

У     6     2 3

 

 

3.2.3. Рівняння y" = f (y,y'). Це рівняння не містить яв­но змінної x. Для зниження порядку рівняння введемо нову функцію z(y), залежну від змінної y, покладаючи y' = z(y).

 

 

499Продиференціюємо цю рівність по x, вважаючи y функцією

від x:

"    d(y')     dz(y)     dz dy dz y       dx        dx      dy dx dyZ'

Якщо підставити вирази для y' і y'' у задане диферен­ціальне рівняння, то дістанемо диференціальне рівняння пер­шого порядку відносно функції z(y)

dyz = f (y,z)-

Нехай функція z(y) = p(y, C\) є загальним розв'язком цьо-

dy

го рівняння. Оскільки z(y) = —, то дістанемо рівняння з відо-

dx

кремлюваними змінними

 

 

 

Проінтегрувавши його, знайдемо загальний інтеграл зада­ного рівняння:

dy

 

Приклад 4. Знайти загальний розв'язок рівняння 1 + y'2 =

2yy''.

А Введемо нову невідому функцію z(y), поклавши y' = z(y). Оскільки y'' = —— z, то після підстановки y' і y'' в задане рівняння,

dy

одержимо диференціальне рівняння першого порядку

dz 2 2yz— = 1 + z2.

dy

Відокремивши змінні та проінтегрувавши, знайдемо, що ln(1 + z2)=ln \y\ + ln\C\\,    Ci =0,

або

1 + z2 = ±C\y,    1 + z2 = C2y, C2 Є R \ {0}. Звідси випливає, що z = ±\/C2y 1.

 

5Оскільки z = ——, то отримаємо диференціальне рівняння пер­шого порядку

 

Х

Відокремивши змінні й проінтегрувавши, дістанемо загальний розв'зок рівняння:

      _ = dx,    ±-% ^fc2y~-i = х+Сз,    -1 (C2V-1) = (х+Сз?

 

або

С22(х + Сз)2 +4     c ^ 4С2

 

3.3. Лінійні диференціальні рівняння другого порядку.

3.3.1. Загальна теорія лінійних диференціальних рівнянь. Диференціальне рівняння вигляду

 

ao(x)y" + ai(x)y' + a2(x)y = р(х) (6)

називається лінійним диференціальним рівнянням дру­гого порядку. Тут коефіцієнти рівняння ao(x), ai(x), a2(x) і вільний член р(х) - задані функції аргументу х. Вважатиме­мо, що ao, a1, a2 і p - неперервні функції на [a; b] і a0(x) = О, х є [a; b]. Поділимо рівняння (26) на ao(x) і введемо позначення

Страницы:
1  2  3  4  5  6  7  8  9  10  11  12  13  14  15  16  17  18  19  20  21  22  23  24  25  26  27  28  29  30  31  32  33  34  35  36  37  38  39  40  41  42  43  44  45  46  47  48  49  50  51  52  53  54  55  56  57  58  59  60  61  62  63  64  65  66  67  68  69  70  71  72  73  74  75  76  77  78  79  80  81  82  83  84  85  86  87  88  89  90  91  92  93  94  95  96  97  98  99  100  101  102  103  104  105  106  107  108  109  110  111  112  113  114  115  116  117  118  119  120  121  122  123  124  125  126  127  128  129  130  131  132  133  134  135  136  137  138  139  140  141  142  143  144  145  146  147  148  149  150  151  152  153  154  155  156  157  158  159  160  161  162  163  164  165  166  167  168  169  170  171  172  173  174  175  176  177  178  179  180  181  182  183  184  185  186  187  188  189  190  191  192  193  194  195  196  197  198  199  200  201  202  203  204  205  206  207  208  209  210  211  212  213  214  215  216  217  218  219  220  221  222  223  224  225  226  227  228  229  230  231  232  233  234  235  236  237  238  239  240  241  242  243  244  245  246  247  248  249  250  251  252  253  254  255  256  257  258  259  260  261  262  263  264  265  266  267  268  269  270  271  272  273  274  275  276  277  278  279  280  281 


Похожие статьи

В П Лавринчук - Вища математика загальний курс частина 2 математичний аналіз і диференціальні рівняння