В П Лавринчук - Вища математика загальний курс частина 2 математичний аналіз і диференціальні рівняння - страница 257

Страницы:
1  2  3  4  5  6  7  8  9  10  11  12  13  14  15  16  17  18  19  20  21  22  23  24  25  26  27  28  29  30  31  32  33  34  35  36  37  38  39  40  41  42  43  44  45  46  47  48  49  50  51  52  53  54  55  56  57  58  59  60  61  62  63  64  65  66  67  68  69  70  71  72  73  74  75  76  77  78  79  80  81  82  83  84  85  86  87  88  89  90  91  92  93  94  95  96  97  98  99  100  101  102  103  104  105  106  107  108  109  110  111  112  113  114  115  116  117  118  119  120  121  122  123  124  125  126  127  128  129  130  131  132  133  134  135  136  137  138  139  140  141  142  143  144  145  146  147  148  149  150  151  152  153  154  155  156  157  158  159  160  161  162  163  164  165  166  167  168  169  170  171  172  173  174  175  176  177  178  179  180  181  182  183  184  185  186  187  188  189  190  191  192  193  194  195  196  197  198  199  200  201  202  203  204  205  206  207  208  209  210  211  212  213  214  215  216  217  218  219  220  221  222  223  224  225  226  227  228  229  230  231  232  233  234  235  236  237  238  239  240  241  242  243  244  245  246  247  248  249  250  251  252  253  254  255  256  257  258  259  260  261  262  263  264  265  266  267  268  269  270  271  272  273  274  275  276  277  278  279  280  281 

Аналогічно можна довести, що: 1) функції yi = ekx, y2 = хвкх лінійно незалежні на довільному відрізку [a; b] С R; 2) функції yi = eax cos (Зх, y2 = eax sin (Зх лінійно незалежні на довільному відрізку [a; b] С R, {k,a,(3} С R.

Очевидно, що коли функції yi і y2 лінійно незалежні на [a; b], то жодна з цих функцій не дорівнює тотожно нулю на цьому відрізку.

Виявляється, що для одержання загального розв'язку ліній­ного однорідного диференціального рівняння другого порядку досить мати два будь-які лінійно незалежні розв'язки цього рівняння.

Теорема 1. Якщо yi і y2 - довільні лінійно незалежні розв язки лінійного однорідного рівняння другого порядку (8), то його загальним розв язком є функція

 

y = Ciyi + C2y2, (11)

де Ci і C2 - довільні сталі.

а Доведемо, що функція, яка визначається формулою (11), є розв'язком рівняння (8). Підставивши (11) в (8), матимемо

(Ciyi + C2y2)'' + р(х)(Сіу + C2y)' + я(х)(СіУі + C2y2) = = Ci(y'{ + р(х)УІ + я(х)уі) + С2У + р(х)у2 + я(х)У2) =

= Ci 0 + C2 0 = 0.

Можна довести, що формула (11) визначає всі розв'язки рівняння (8). ►

 

503Відповідь на те, яка будова загального розв'язку лінійного неоднорідного рівняння (7) дає теорема.

Теорема 2. Загальний розв'язок лінійного неоднорідно­го диференціального рівняння (7) є сумою його частинного розв язку і загального розв язку відповідного лінійного одно­рідного рівняння (8), тобто

 

Уз.н. = Уз.о. + Уч.н.. (12)

А Нехай уч^ = у - частинний розв'язок неоднорідного рів­няння (7), тобто

у'' + р(х)у' + д(х)у = f (х). (13) Зробимо в рівнянні (7) заміну

У = z + у. (14)

Тоді матимемо

у'' + р(х)у' + я(х)у + z'' + р(х)^ + q^)z = f (х), або, згідно з (13),

z'' + р(х)^ + q^)z = 0. (15)

Отже, розв'язування рівняння (7) ми звели до розв'язу­вання рівняння (15), яке з точністю до позначень збігається з рівнянням (7). Оскільки загальним розв'язком рівняння (15) є функція (11), то одержимо, що загальний розв'язок лінійного неоднорідного рівняння (7) має вигляд

 

Уз.н. = Ciyi + C2 У2 + У,

де Уі, У2 - лінійно незалежні розв'язки рівняння (8) або (15). З теорем 1 і 2 випливає, що для знаходження загально­го розв'язку лінійного неоднорідного рівняння (7) треба знай­ти два лінійно незалежних розв'язки відповідного однорідно­го рівняння (8) і деякий частинний розв'язок неоднорідного

 

50рівняння (7). Доведено, що для лінійного однорідного рівнян­ня (8) з неперервними на відрізку [a; b] коефіцієнтами завжди існує два лінійно незалежних розв'язки цього рівняння. Для лінійних рівнянь зі сталими коефіцієнтами лінійно незалежні розв'язки знаходяться відносно просто.

3.3.2. Лінійні однорідні диференціальні рівняння другого порядку зі сталими коефіцієнтами. Розглянемо рівняння

У'' + РУ' + qy = 0, (16)

де р і q - сталі.

Шукатимемо частинні розв'язки рівняння (16) у вигляді

у = вХх. (17)

Диференціюючи цю функцію двічі й підставляючи вирази y = еЛх, у' = ХеХх і У'' = Х2еХх у рівняння (16), дістанемо рівність

eXx(\2 + р\ + q) = 0.

Оскільки еХх = 0, то, скоротивши на еЛх, одержимо квадратне рівняння

X2 + рХ + q = 0. (18)

Страницы:
1  2  3  4  5  6  7  8  9  10  11  12  13  14  15  16  17  18  19  20  21  22  23  24  25  26  27  28  29  30  31  32  33  34  35  36  37  38  39  40  41  42  43  44  45  46  47  48  49  50  51  52  53  54  55  56  57  58  59  60  61  62  63  64  65  66  67  68  69  70  71  72  73  74  75  76  77  78  79  80  81  82  83  84  85  86  87  88  89  90  91  92  93  94  95  96  97  98  99  100  101  102  103  104  105  106  107  108  109  110  111  112  113  114  115  116  117  118  119  120  121  122  123  124  125  126  127  128  129  130  131  132  133  134  135  136  137  138  139  140  141  142  143  144  145  146  147  148  149  150  151  152  153  154  155  156  157  158  159  160  161  162  163  164  165  166  167  168  169  170  171  172  173  174  175  176  177  178  179  180  181  182  183  184  185  186  187  188  189  190  191  192  193  194  195  196  197  198  199  200  201  202  203  204  205  206  207  208  209  210  211  212  213  214  215  216  217  218  219  220  221  222  223  224  225  226  227  228  229  230  231  232  233  234  235  236  237  238  239  240  241  242  243  244  245  246  247  248  249  250  251  252  253  254  255  256  257  258  259  260  261  262  263  264  265  266  267  268  269  270  271  272  273  274  275  276  277  278  279  280  281 


Похожие статьи

В П Лавринчук - Вища математика загальний курс частина 2 математичний аналіз і диференціальні рівняння