В П Лавринчук - Вища математика загальний курс частина 2 математичний аналіз і диференціальні рівняння - страница 258

Страницы:
1  2  3  4  5  6  7  8  9  10  11  12  13  14  15  16  17  18  19  20  21  22  23  24  25  26  27  28  29  30  31  32  33  34  35  36  37  38  39  40  41  42  43  44  45  46  47  48  49  50  51  52  53  54  55  56  57  58  59  60  61  62  63  64  65  66  67  68  69  70  71  72  73  74  75  76  77  78  79  80  81  82  83  84  85  86  87  88  89  90  91  92  93  94  95  96  97  98  99  100  101  102  103  104  105  106  107  108  109  110  111  112  113  114  115  116  117  118  119  120  121  122  123  124  125  126  127  128  129  130  131  132  133  134  135  136  137  138  139  140  141  142  143  144  145  146  147  148  149  150  151  152  153  154  155  156  157  158  159  160  161  162  163  164  165  166  167  168  169  170  171  172  173  174  175  176  177  178  179  180  181  182  183  184  185  186  187  188  189  190  191  192  193  194  195  196  197  198  199  200  201  202  203  204  205  206  207  208  209  210  211  212  213  214  215  216  217  218  219  220  221  222  223  224  225  226  227  228  229  230  231  232  233  234  235  236  237  238  239  240  241  242  243  244  245  246  247  248  249  250  251  252  253  254  255  256  257  258  259  260  261  262  263  264  265  266  267  268  269  270  271  272  273  274  275  276  277  278  279  280  281 

Рівняння (18) називається характеристичним рівнян­ням для диференціального рівняння (16). З цього рівняння визначаються ті значення X, при яких функція еХх є розв'язком рівняння (16).

Характеристичне рівняння є рівнянням другого степеня і має два корені. Ці корені можуть бути або дійсними різними, або дійсними й рівними, або комплексно спряженими.

Розглянемо, який вигляд має фундаментальна систе­ма розв'язків, тобто сукупність лінійно незалежних частинних розв'язків, у кожному з цих випадків.

I. Корені характеристичного рівняння (18) дійсні та різні: Xi = Х2. У цьому випадку згідно з формулою (17) зна­ходимо два частинні розв'язки yi = еХіх і У2 = е^2х. Ці два

 

505розв'язки лінійно незалежні (приклад 5), а тому вони утво­рюють фундаментальну систему. Тоді загальний розв'язок, як випливає з теореми 1, має вигляд

у = ЄіеХіх + C2eX2x, {Ci,C2} С R.

II.  Корені характеристичного рівняння (18) кратні,
тобто
Xi = Х2. У цьому випадку, скориставшись формулою
(17), дістанемо тільки один частинний розв'язок yi = еХіх. За
другий частинний розв'язок візьмемо функцію
у2 = хеХіх, яка
лінійно незалежна з
yi на будь-якому відрізку [a; b] числової осі
і є розв'язком
(16). Отже, ці функції утворюють фундаменталь-
ну систему частинних розв'язків. Тому загальний розв'язок
рівняння (16) має вигляд

У = (Ci + С2х)еХіх,   {Ci,C2}c R.

 

III.  Якщо дискримінант характеристичного рівнян-

р2

ня q < 0, то воно має комплексні корені Xi =
р

Для зручності позначимо а =   , в = у q 4. Тоді

Xi = а + гв, X2 = а г@. У цьому випадку фундаменталь­ною системою розв'язків рівняння є функції yi = еах cos вх, У2 = еах sin вх. Тому загальний розв'язок рівняння має вигляд

у = еах(Ох cos вх + C2 sin вх),    {C1C2} С R. Приклад 6. Розв'язати рівняння

у" + 7у' = 0.

А Характеристичне рівняння X2 + 7X 8 = 0 має корені Xi = —8, X2 = 1, а тому фундаментальна система розв'язків yi = е-8х, у2 = ех. Тоді загальний розв'язок має вигляд

 

 

 

506Приклад 7. Знайти частинний розв'язок рівняння у" + 6у' + = 0, який задовольняє початкові умови у(0) = 0, у'(0) = 2.

А Спочатку знайдемо загальний розв'язок рівняння. Для цього складемо характеристичне рівняння X2 + 6X + 9 = 0, що має корені Xi = X2 = —3. Загальним розв'язком рівняння є функція

у = е-^^і + C\x).

Сталі Ci і C2 знайдемо, скориставшись початковими умовами. Оскільки

у' = —3c-3x(Ci + C2x) + C2C-3x, то маємо систему рівнянь

Г Ci =0,

\ —3Ci + C2 = 2,

звідки Ci = 0, C2 = 2.

Шуканим розв'язком є

у = 2хе-3х.

Приклад 8. Знайти загальний розв'язок рівняння у'' 2у' + 10у = 0.

А Характеристичне рівняння X2 2X + 10 = 0 має корені

x1 = 1 ± л/1 10 = 1 ±л/9л/—ї =1 ± 3г.

Фундаментальною системою частинних розв'язків є yi = ех cos і у2 = ех sin 3х. Тоді загальний розв'язок має вигляд

Страницы:
1  2  3  4  5  6  7  8  9  10  11  12  13  14  15  16  17  18  19  20  21  22  23  24  25  26  27  28  29  30  31  32  33  34  35  36  37  38  39  40  41  42  43  44  45  46  47  48  49  50  51  52  53  54  55  56  57  58  59  60  61  62  63  64  65  66  67  68  69  70  71  72  73  74  75  76  77  78  79  80  81  82  83  84  85  86  87  88  89  90  91  92  93  94  95  96  97  98  99  100  101  102  103  104  105  106  107  108  109  110  111  112  113  114  115  116  117  118  119  120  121  122  123  124  125  126  127  128  129  130  131  132  133  134  135  136  137  138  139  140  141  142  143  144  145  146  147  148  149  150  151  152  153  154  155  156  157  158  159  160  161  162  163  164  165  166  167  168  169  170  171  172  173  174  175  176  177  178  179  180  181  182  183  184  185  186  187  188  189  190  191  192  193  194  195  196  197  198  199  200  201  202  203  204  205  206  207  208  209  210  211  212  213  214  215  216  217  218  219  220  221  222  223  224  225  226  227  228  229  230  231  232  233  234  235  236  237  238  239  240  241  242  243  244  245  246  247  248  249  250  251  252  253  254  255  256  257  258  259  260  261  262  263  264  265  266  267  268  269  270  271  272  273  274  275  276  277  278  279  280  281 


Похожие статьи

В П Лавринчук - Вища математика загальний курс частина 2 математичний аналіз і диференціальні рівняння