В П Лавринчук - Вища математика загальний курс частина 2 математичний аналіз і диференціальні рівняння - страница 259

Страницы:
1  2  3  4  5  6  7  8  9  10  11  12  13  14  15  16  17  18  19  20  21  22  23  24  25  26  27  28  29  30  31  32  33  34  35  36  37  38  39  40  41  42  43  44  45  46  47  48  49  50  51  52  53  54  55  56  57  58  59  60  61  62  63  64  65  66  67  68  69  70  71  72  73  74  75  76  77  78  79  80  81  82  83  84  85  86  87  88  89  90  91  92  93  94  95  96  97  98  99  100  101  102  103  104  105  106  107  108  109  110  111  112  113  114  115  116  117  118  119  120  121  122  123  124  125  126  127  128  129  130  131  132  133  134  135  136  137  138  139  140  141  142  143  144  145  146  147  148  149  150  151  152  153  154  155  156  157  158  159  160  161  162  163  164  165  166  167  168  169  170  171  172  173  174  175  176  177  178  179  180  181  182  183  184  185  186  187  188  189  190  191  192  193  194  195  196  197  198  199  200  201  202  203  204  205  206  207  208  209  210  211  212  213  214  215  216  217  218  219  220  221  222  223  224  225  226  227  228  229  230  231  232  233  234  235  236  237  238  239  240  241  242  243  244  245  246  247  248  249  250  251  252  253  254  255  256  257  258  259  260  261  262  263  264  265  266  267  268  269  270  271  272  273  274  275  276  277  278  279  280  281 

у = ex(C1 cos3x + C2 вт3х). ►

Приклад 9. Розв'язати рівняння у'' + = 0.

А Характеристичне рівняння X2 + 2 = 0 має корені Xi = л/—2 = іл/2, Х2 = —л/—2 = —іл/2. Тут а = 0, в = л/2. Фундаментальна система розв'язків yi = cos л/2х, У2 = sinл/2x. Загальний розв'язок рівняння

у = C1 cosл/2x + C2 sinл/2x.

 

3.3.3. Лінійні неоднорідні диференціальні рівняння другого порядку зі сталими коефіцієнтами. Розглянемо тепер рівняння

У" + рУ + qy = f (х), (19)

 

507де р, q - деякі дійсні числа, а f - неперервна функція на відріз­ку [a; b]. Як відомо з попереднього, загальний розв'язок рівнян­ня (19) є сумою частинного розв'язку неоднорідного рівняння й загального розв'язку відповідного однорідного рівняння. За­гальний розв'язок однорідного рівняння ми вміємо знаходити, а тому залишилося розглянути питання знаходження частин­ного розв'язку лінійного неоднорідного рівняння. Якщо права частина f рівняння (19) є многочлен, або показникова функ­ція, або тригонометрична функція cos вх чи sin вх, або лінійна комбінація цих функцій, то частинний розв'язок можна знайти за допомогою методу невизначених коефіцієнтів.

I. Права частина рівняння (19) f (х) = Pn(х), де Pn(x) = a0xn + a1xn-i +... + an-1x + an - многочлен степеня n.

У цьому випадку частинний розв'язок уч.н.(х) = у(х) слід шукати у вигляді

У = Qn(x)xr, (20)

де Qn(x) - многочлен того самого степеня n, що й многочлен Pn(x), але з невідомими коефіцієнтами, а r - число коренів характеристичного рівняння, які дорівнюють нулю. Для зна­ходження коефіцієнтів многочлена Qn треба підставити (20) в (19) і прирівняти коефіцієнти при однакових степенях х справа й зліва в одержаній рівності.

Приклад 10. Знайти загальний розв'язок рівняння у'' 2у' + у = х + 1.

А Розглянемо відповідне однорідне рівняння у'' 2у' + у = 0 і знайдемо корені характеристичного рівняння X2 2Х + 1 = 0. Маємо Xi = Х2 = 1, а тому загальний розв'язок однорідного рівняння

Уз.о. (х) = (Ci + C2x)ex.

Оскільки права частина рівняння є многочленом першого степе­ня і серед коренів характеристичного рівняння немає нульових, то частинний розв'язок неоднорідного рівняння треба шукати у вигляді

у = (Ax + B)x0 = Ax + B.

Підставимо цей вираз в неоднорідне рівняння і прирівняємо коефі­цієнти при однакових степенях х:

(Ax + B)'' 2(Ax + B)' + (Ax + B) = x + 1,

 

50—2A + Ax + B = x +1,

або

Ax + (B 2A) = x + 1,

звідки одержуємо, що

Г     A =1, \ B 2A =1,

тобто A = 1, B = 3.

Отже, частинним розв'язком неоднорідного рівняння є у = х + 3, а тому його загальний розв'язок має вигляд

у = (Ci + C2x)ex + х + 3.

Приклад 11. Відомо, що функція попиту q = 3р'' р' +18, а функція пропозиції s = Ар" + р' + + 3, де р(ї) - ціна товару на момент часу t, р'(Ь) - тенденція формування ціни, р"(і) - темп зміни ціни. Знайти залежність ціни р від часу, за умови, що попит і пропозиція зрівноважуються, а р(0) = А, р'(0) = 1.

Страницы:
1  2  3  4  5  6  7  8  9  10  11  12  13  14  15  16  17  18  19  20  21  22  23  24  25  26  27  28  29  30  31  32  33  34  35  36  37  38  39  40  41  42  43  44  45  46  47  48  49  50  51  52  53  54  55  56  57  58  59  60  61  62  63  64  65  66  67  68  69  70  71  72  73  74  75  76  77  78  79  80  81  82  83  84  85  86  87  88  89  90  91  92  93  94  95  96  97  98  99  100  101  102  103  104  105  106  107  108  109  110  111  112  113  114  115  116  117  118  119  120  121  122  123  124  125  126  127  128  129  130  131  132  133  134  135  136  137  138  139  140  141  142  143  144  145  146  147  148  149  150  151  152  153  154  155  156  157  158  159  160  161  162  163  164  165  166  167  168  169  170  171  172  173  174  175  176  177  178  179  180  181  182  183  184  185  186  187  188  189  190  191  192  193  194  195  196  197  198  199  200  201  202  203  204  205  206  207  208  209  210  211  212  213  214  215  216  217  218  219  220  221  222  223  224  225  226  227  228  229  230  231  232  233  234  235  236  237  238  239  240  241  242  243  244  245  246  247  248  249  250  251  252  253  254  255  256  257  258  259  260  261  262  263  264  265  266  267  268  269  270  271  272  273  274  275  276  277  278  279  280  281 


Похожие статьи

В П Лавринчук - Вища математика загальний курс частина 2 математичний аналіз і диференціальні рівняння