В П Лавринчук - Вища математика загальний курс частина 2 математичний аналіз і диференціальні рівняння - страница 263

Страницы:
1  2  3  4  5  6  7  8  9  10  11  12  13  14  15  16  17  18  19  20  21  22  23  24  25  26  27  28  29  30  31  32  33  34  35  36  37  38  39  40  41  42  43  44  45  46  47  48  49  50  51  52  53  54  55  56  57  58  59  60  61  62  63  64  65  66  67  68  69  70  71  72  73  74  75  76  77  78  79  80  81  82  83  84  85  86  87  88  89  90  91  92  93  94  95  96  97  98  99  100  101  102  103  104  105  106  107  108  109  110  111  112  113  114  115  116  117  118  119  120  121  122  123  124  125  126  127  128  129  130  131  132  133  134  135  136  137  138  139  140  141  142  143  144  145  146  147  148  149  150  151  152  153  154  155  156  157  158  159  160  161  162  163  164  165  166  167  168  169  170  171  172  173  174  175  176  177  178  179  180  181  182  183  184  185  186  187  188  189  190  191  192  193  194  195  196  197  198  199  200  201  202  203  204  205  206  207  208  209  210  211  212  213  214  215  216  217  218  219  220  221  222  223  224  225  226  227  228  229  230  231  232  233  234  235  236  237  238  239  240  241  242  243  244  245  246  247  248  249  250  251  252  253  254  255  256  257  258  259  260  261  262  263  264  265  266  267  268  269  270  271  272  273  274  275  276  277  278  279  280  281 

 

який не дорівнює нулю для х Є [a; b], бо yi(x) і у2(х) - фун­даментальна система розв'язків. Тому zi' і z2' визначаються з системи (28) однозначно: z'i(х) = <pi(x), z'2(х) = (р2(х). Проін-тегрувавши, знайдемо z і z2 і підставимо їх в (21). У результаті матимемо частинний розв'язок рівняння (19).

Приклад 14. Знайти загальний розв'язок рівняння у" + Ау =

1

cos 2х

А Характеристичне рівняння А2 + А = 0 має корені Аі = 2i, Х2 = —2i, а тому фундаментальну систему утворюють функції уі(х) = sin2x, У2(х) = cos2x. Звідси випливає, що загальний розв'язок ліній­ного однорідного рівняння має вигляд

 

У^сх = C1 sin 2х + C2 cos 2х.

Тому частинний розв'язок неоднорідного рівняння згідно з фор­мулою (21) запишемо у вигляді

 

р = z1(x)sin2x + z2(x)cos2x. (29)

Система (28) для знаходження zl (х) і z2 (х) у даному випадку є такою:

{

z'1 (х) sin 2х + z'2 (х) cos 2х = 0,
2zi (х) cos 2х 2z2 (х) sin 2х =        .
п J               2W cos2x

51Розв'яжемо цю систему за формулами Крамера:
0         
cos 2z[ (x)


—2 sin 2x

cos 2x

sin 2x      cos 2x 2 cos 2x     2 sin 2x -1

2(sin2 2x + cos2 2x) 2'z2 (x)


sin 2x 2 cos 2x

cos 2x

sin 2x      cos 2x 2 cos 2x   2 sin 2x

= 1

= 2

 

 

tg 2x

2(sin2 2x + cos2 2x)

 

 

tg 2x.Інтегруючи, дістаємо

 

zi(x) = 2x,    Z2(x) = 4 ln | cos2x|.

Довільних сталих не пишемо, бо шукаємо частинний розв'язок.

Підставивши знайдені zi(x) і Z2(x) у (29), отримаємо частинний розв'язок у рівняння

11

у = 2xsin2x + 4 cos2x ln | cos2x|. Отже, загальний розв'язок неоднорідного рівняння має вигляд

= C sin 2x + C2 cos 2x +1 x sin 2x + 4 cos 2x ln | cos 2x|.

 

Вправи

1. Проінтегрувати рівняння і, де вказано, виділити розв'язок, який задовольняє початкові умови:

1) у" = sinx + cosx; 2) у" = xex, y(0) = 0, y'(0) = 0; 3) y" = 2xlnx; 4) xy" = y'; 5) xy" = (1 + 2x2)y'; 6) у" = y' lny', y(0) = 0, y'(0) = 1; 7) 3y'y'' = 2y, y(0) = 1, y'(0) = 1; 8) yy'' + y'2 = 0; 9) y'' = e2y, y(0) = 0, y'(0) = 1;   10) y''(x2 + 1) 2xy' = 0, y(0) = 1, y'(0) = 3.

Страницы:
1  2  3  4  5  6  7  8  9  10  11  12  13  14  15  16  17  18  19  20  21  22  23  24  25  26  27  28  29  30  31  32  33  34  35  36  37  38  39  40  41  42  43  44  45  46  47  48  49  50  51  52  53  54  55  56  57  58  59  60  61  62  63  64  65  66  67  68  69  70  71  72  73  74  75  76  77  78  79  80  81  82  83  84  85  86  87  88  89  90  91  92  93  94  95  96  97  98  99  100  101  102  103  104  105  106  107  108  109  110  111  112  113  114  115  116  117  118  119  120  121  122  123  124  125  126  127  128  129  130  131  132  133  134  135  136  137  138  139  140  141  142  143  144  145  146  147  148  149  150  151  152  153  154  155  156  157  158  159  160  161  162  163  164  165  166  167  168  169  170  171  172  173  174  175  176  177  178  179  180  181  182  183  184  185  186  187  188  189  190  191  192  193  194  195  196  197  198  199  200  201  202  203  204  205  206  207  208  209  210  211  212  213  214  215  216  217  218  219  220  221  222  223  224  225  226  227  228  229  230  231  232  233  234  235  236  237  238  239  240  241  242  243  244  245  246  247  248  249  250  251  252  253  254  255  256  257  258  259  260  261  262  263  264  265  266  267  268  269  270  271  272  273  274  275  276  277  278  279  280  281 


Похожие статьи

В П Лавринчук - Вища математика загальний курс частина 2 математичний аналіз і диференціальні рівняння