В П Лавринчук - Вища математика загальний курс частина 2 математичний аналіз і диференціальні рівняння - страница 264

Страницы:
1  2  3  4  5  6  7  8  9  10  11  12  13  14  15  16  17  18  19  20  21  22  23  24  25  26  27  28  29  30  31  32  33  34  35  36  37  38  39  40  41  42  43  44  45  46  47  48  49  50  51  52  53  54  55  56  57  58  59  60  61  62  63  64  65  66  67  68  69  70  71  72  73  74  75  76  77  78  79  80  81  82  83  84  85  86  87  88  89  90  91  92  93  94  95  96  97  98  99  100  101  102  103  104  105  106  107  108  109  110  111  112  113  114  115  116  117  118  119  120  121  122  123  124  125  126  127  128  129  130  131  132  133  134  135  136  137  138  139  140  141  142  143  144  145  146  147  148  149  150  151  152  153  154  155  156  157  158  159  160  161  162  163  164  165  166  167  168  169  170  171  172  173  174  175  176  177  178  179  180  181  182  183  184  185  186  187  188  189  190  191  192  193  194  195  196  197  198  199  200  201  202  203  204  205  206  207  208  209  210  211  212  213  214  215  216  217  218  219  220  221  222  223  224  225  226  227  228  229  230  231  232  233  234  235  236  237  238  239  240  241  242  243  244  245  246  247  248  249  250  251  252  253  254  255  256  257  258  259  260  261  262  263  264  265  266  267  268  269  270  271  272  273  274  275  276  277  278  279  280  281 

2. Розв'язати рівняння:

1) y'' 4y' + 3y = 0;    2) y'' 4y' + 4y = 0; 3) y'' 8y' + 25 = 0;      4) y'' + 4y' = 0;

 

55) y'' + 2y' + 2y = 0; 7) y'' + y = 0;

6) y'' + 2y' + 5y = 0;

8) y'' 2y' + y = e2x;9) y'' + y' 2y = —4;    10) y'' 4y = 8x3; 11) y'' 2y' = 2ex;        12) y'' + y' = xe-x;

13) y'' 5y' + 6y = 13 sin 3x;    14) y'' + 3y' + 2y = sin 2x + 2 cos 2x; 15) y'' + y = x + 2ex.

3. Попит і пропозиція на деякий товар визначаються співвідно­шеннями q = 2p'' p' p +15, s = 2p'' + p' + p + 5, де p - ціна товару, p' - тенденція формування ціни, p'' - темп зміни ціни. Знайти залеж­ність ціни від часу, за умови, що пропозиція і попит зрівноважені, а p(0) = 6; q(0) = 10; s(0) = 10.

4. Розв'язати подане нижче рівняння і згідно із заданими почат­ковими або крайовими умовами, знайти частинний розв'язок:

 

1) y''(t) 4y'(t) + 3y(t) = 0, y(0) = 1, y'(0) = 0;

2) y''(t) + y'(t) 6y(t) = 0, y(0) = 0, y(1) = 1;

3) y''(t) 4y'(t) + 4y(t) = 0, y(0) = 1, y'(0) = 0;

4) y''(t) 6y'(t) + 9y(t) = 0, y(1) = 1, y'(1) = 2;

5) 2y''(t) + 3y'(t) + 17y(t) = 0, y(0) = 1, y'(0) = 0;

6) y''(t) 2y'(t) + 5y(t) = 0, y(0) = 2, y'(0) = 10.

5. Знайти загальний розв'язок і розв'язати задачу Коші:

1) y''(t) y(t)= e', y(0) = 1, y'(0) = 0;

2) y''(t) 6y'(t) + 9y(t) = e3', y(0) = 0, y'(0) = 1;

3) y''(t) + y(t) = 2cost, y(0) = 5, y'(0) = 2.

6. Довести, що: 1) y(t) = te2' є частинним розв'язком рівняння

y''(t) 3y'(t) + 2y(t) = e2'; 2) y(t) = — e2' є частинним розв'язком

рівняння y''(t) 21y'(t) + 4y(t) = e2'.

7. Висота x(t) в момент часу t тіла, яке вільно падає під дією сили земного тяжіння, задовольняє рівняння x''(t) = —g, де g - приско­рення сили земного тяжіння. Виразити x(t) через початкову висоту x(0) = xo і початкову швидкість x'(0) = x^. Якщо тіло падає з висо­ти h при нульовій початковій швидкості, то з якою швидкістю воно досягає Землі?

8. Урівноважений обсяг популяції деякого виду в заданому се­редовищі становить 1000 особин. Кількість популяції коливається навколо цього середнього значення і описується рівнянням y''(t) = 4"7г2(1000 y(t)), де y(t) - кількість популяції в момент часу t (роки). Знайти кількість популяції через 6, 12 і 18 місяців, якщо y(0) = 1500,

y'(0) = 0.

9. У моторного човна, який рухається прямолінійно зі швидкістю vo = 5 мм/с, вимикають мотор. При цьому русі човен зазнає опору

 

516води, сила якого пропорційна квадрату швидкості з коефіцієнтом

,      т тт

k = —, де m - маса човна. Через який час швидкість човна змен-50 .

шиться вдвоє і який шлях пройде човен за цей час?

10.Куля входить в дерев'яний брус товщиною 12 см зі швидкістю 200 м/с, а вилітає з нього, пробивши його, зі швидкістю 60 м/с. Куля зазнає опору деревини, сила якого пропорційна квадрату швидкості руху. Знайти час проходження кулі через брус.

11.Знайти закон руху матеріальної точки масою m вздовж пря­мої OA під дією відштовхуючої сили, яка обернено пропорційна третьому степеню відстані x точки від нерухомого центра O.

 

Відповіді

1. 1) y = - sinx - cos+Cix + C2; 2) y = (x - 2)ex + x + 2; 3) y = %- lnx- 5x3 + Cix+C2; 4) y = Cix2 + C2; 5) y = C\ex2 + C2; 6) y = x;

Страницы:
1  2  3  4  5  6  7  8  9  10  11  12  13  14  15  16  17  18  19  20  21  22  23  24  25  26  27  28  29  30  31  32  33  34  35  36  37  38  39  40  41  42  43  44  45  46  47  48  49  50  51  52  53  54  55  56  57  58  59  60  61  62  63  64  65  66  67  68  69  70  71  72  73  74  75  76  77  78  79  80  81  82  83  84  85  86  87  88  89  90  91  92  93  94  95  96  97  98  99  100  101  102  103  104  105  106  107  108  109  110  111  112  113  114  115  116  117  118  119  120  121  122  123  124  125  126  127  128  129  130  131  132  133  134  135  136  137  138  139  140  141  142  143  144  145  146  147  148  149  150  151  152  153  154  155  156  157  158  159  160  161  162  163  164  165  166  167  168  169  170  171  172  173  174  175  176  177  178  179  180  181  182  183  184  185  186  187  188  189  190  191  192  193  194  195  196  197  198  199  200  201  202  203  204  205  206  207  208  209  210  211  212  213  214  215  216  217  218  219  220  221  222  223  224  225  226  227  228  229  230  231  232  233  234  235  236  237  238  239  240  241  242  243  244  245  246  247  248  249  250  251  252  253  254  255  256  257  258  259  260  261  262  263  264  265  266  267  268  269  270  271  272  273  274  275  276  277  278  279  280  281 


Похожие статьи

В П Лавринчук - Вища математика загальний курс частина 2 математичний аналіз і диференціальні рівняння